Question

如图,已知二次函数y=x^2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于P,顶点为C(1,-2)

如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于P,顶点为C(1,-2)
（1）求此二次函数的解析式
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3））在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。（3个）

过程！！！谢谢！！！

Answer 1

（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，-2）．∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1

（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，根据A，B关于对称轴对称，AC=CB，AD=BD，点C关 于x轴的对称点D，

AC=BC=AD=BD，则四边形ACBD是菱形，故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M． 由P（0，-1），M（1，0），得b=-1k+b=0从而得y=x-1，设E（x，x-1）代入y=x2-2x-1得：
x-1=x2-2x-1，解得x1=0，x2=3，根据题意得点E（3，2）；

（3）假设存在这样的点F，可设F(，)．过点F作FG⊥轴，垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．
解得，，根据题意，得F(1，-2)．
以上各步均可逆，故点F(1，-2)即为所求

满意请采纳，祝学习进步！！

追问

第三问有三个答案！

Answer 2

前两问与楼上相同，可以参考。
第三问分为两种情况，一种为PE作直角边，解法为分别在P、E两点作PE的垂线，找到与抛物线的交点为所求。另一种是PE作对边，解法为以PE为直径作圆，与抛物线交点为所求。思路就是这样，结果自己算就好。

追问

我要的是过程，谢谢

Answer 3

没图