Question

求级数敛散性：Un=1/(n*(ln n)^p*(ln ln n)^p) 其中(p>0,q>0)

Answer 1

Un = 1/(n·(ln(n))^p·(ln(ln(n)))^q).

首先考虑通项为An = 1/(n·(ln(n))^p)的级数.
通项非负单调递减, 根据Cauchy积分判别法, 级数收敛当且仅当∫{10,+∞} 1/(x·ln(x)^p) dx收敛.
对p ≠ 1, ln(x)^(1-p)/(1-p)是1/(x·ln(x)^p)的原函数.
可知p > 1时级数收敛, 0 < p < 1时级数发散.

回到原题.
对p > 1, 根据比较判别法, 由∑1/(n·ln(n)^p)收敛易得∑1/(n·ln(n)^p·ln(ln(n))^q)收敛.
对p < 1, 取p < r < 1, 可证(1/(n·ln(n)^r))/(1/(n·ln(n)^p·ln(ln(n))^q)) = ln(ln(n))^q/ln(n)^(r-p) → 0.
于是根据比较判别法, 由∑1/(n·ln(n)^r)发散可得∑1/(n·ln(n)^p·ln(ln(n))^q)发散.

对p = 1, 仍使用Cauchy积分判别法.
当q ≠ 1, ln(ln(x))^(1-q)/(1-q)是1/(x·ln(x)·ln(ln(x))^q)的原函数.
可知q > 1时级数收敛, 0 < q < 1时级数收敛.
当q = 1, ln(ln(ln(x)))是1/(x·ln(x)·ln(ln(x)))的原函数, 可得q = 1时级数发散.

综上, 级数收敛当且仅当p > 1或者p = 1同时q > 1.

追问

.求证：取p < r < 1, 可证(1/(n·ln(n)^r))/(1/(n·ln(n)^p·ln(ln(n))^q)) = ln(ln(n))^q/ln(n)^(r-p) → 0.

就差这里了，谢谢。。

追答

只要用L'Hospital法则证明: 对任意a > 0, 在x → +∞时有ln(x)/x^a → 0.
然后取a = (r-p)/q, x = ln(n)即可.