Question

如图,抛物线y=-x²-x+2与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于点C,它的顶点为M

点P为线段AM上一动点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，设ON的长为m，四边形BCPN的面积为S，解决下列问题：

（1）点M的坐标是（_____，_____）；
（2）求S与m之间的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当m为何值时，PC⊥BC？
（4）将△BOC补成矩形，使△BOC的两个顶点B、C成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，请求出矩形未知顶点的坐标.

要有图解，否则不采纳

Answer 1

答：

（1）抛物线y=-x^2-x+2=-(x+1/2)^2+9/4，所以顶点坐标M（-1/2，9/4）

（2）抛物线y=-x^2-x+2，令y=0，得点A（-2,0），点B（1,0）；令x=0，得点C（0,2）

直线AM方程为：y=(x+2)(9/4-0)/(-1/2+2)=3x/2+3，设点P(p，3p/2+3），则点N为（p，0）

-2<=p<=-1/2，则：1/2<=m=-p<=2。

S=S梯形OCPN+S三角形OBC

=(3p/2+3+2)*m/2+1*2/2

=(-3m/2+5)*m/2+1

=-3m^2/4+5m/2+1，1/2<=m<=2

（3）PC⊥BC时，它们的斜率乘积为-1：[(3p/2+3-2)/(p-0)]*[(2-0)/(0-1)]=-1，p=-1.

所以：m=-p=1。

（4）△BOC补全为矩形见图，意思是补全后BC是矩形的其中一条边，并且保证三角形顶点O落在BC的对边上。显然，BC的对边即矩形的另外一条边WQ//BC并且经过原点O。所以直线WQ的斜率与BC边的斜率相同都为-2。.设WQ直线方程为：y=-2x

因为WC⊥BC，QB⊥BC，所以WC和QB的斜率相同都为：-1/(-2)=1/2，所以：

直线WC为y-2=(x-0)/2，即：y=x/2+2

直线QB为y-0=(x-1)/2，即：y=x/2-1/2

以上两直线分别与WQ直线y=-2x联立可求得点W（-4/5，8/5），点Q（1/5，-2/5）。

所以补全后矩形的未知顶点坐标为：点W（-4/5，8/5）和点Q（1/5，-2/5）

Answer 2

M(-1/2,9/4)
S=3/4x^2+5/2x+1 (-2<x<0)
m=-1,PC⊥BC
(-4/5,8/5),(根号3/5,-2根号3/5)

追问

第四问矩形那个什么意思

追答

步骤很多

追问

我已经知道怎么做了，谢谢啊

Answer 3

解：（1），抛物线的方程即为：y=-(x+1/2)^2+9/4 故M坐标为（-1/2,9/4）
（2），易知A( -2,0) B(1,0),C（0,2）则AM的方程：3x-2y+6=0,P在AM上，P（-m,-3m/2 +3)
所以S四边形ONPC 2s=[2+(-3m/2 +3)]m 即s=5m/2-3m^2/4其中0.5≦m≦2
（3），由（2）可知Kbc=-2,Kpc=3/2-1/m,PC⊥BC,则Kbc.Kpc=-1,带入解得m=1
（4），由题意可知对边两点在直线y=-2x...①上，设为DE两点，则CD方程为： x-2y+4=0...②BE的方程为：x-2y-1=0...③
联立①②解得D（-4/5,8/5)
联立①③解得E（1/5,-2/5)
注：Kbc表示直线BC的斜率，由于m是ON的长，所以必然m大于0，故前面的回答者错误,虽然题简单，但是打上来要花很久的时间，还请采纳啊，谢谢。

追问

第四问不懂

追答

请过O点作直线平行于BC，再分别过C作CD⊥DE于D，过B作BE⊥DE于E，你就应该明白了