Question

一道高中数学填空题。

在R上， 使得不等式log2(4-a) <= |x+3|+|x-1| 成立。则实数a的取值范围是_____

要详细过程。

Answer 1

做这道题前，先要明确一点：“|x-a|”就是在数轴上，某点到a点的距离；
则|x+3|+|x-1|就是某点到-3点和1点的距离之和；
因为x取任意实数，不等式恒成立，
所以左边式子要<=右式的最小值；
只有当-3<x<1时，|x+3|+|x-1|最小，最小值为4；
所以，log2(4-a) <=4
4-a<=2^4
所以，a>=-12；
又因为4-a>0，
a<4,
所以，-12<=a<4。

Answer 2

|x+3|+|x-1| >=4
log2(4-a) <= 4
log2X 在R*上增
4-a在X属于R*上减
0<4-a<=2^4
-12<=a<4

Answer 3

对于恒成立，是指不等式左边的任何值都比右边的小，换句话讲，左边的最大值小于右边的最小值。故考虑右边的最小值，如图，很明显min=4。所以左边max<=4即4-a<=16,得a>=-12.又定义域的限制，故-12<=a<4.

Answer 4

恒成立问题转换成最值问题。等价于log2(4-a) <={|x+3|+|x-1|}min=4
a>=-12
哦，真数大于O，所以 -12<=a<4

Answer 5

右边最小值为4，故4-a<=16,a的范围是：a>=-12

Answer 6