Question

问一道高中数学题目,求详解

【热身】：设a,b∈R，则a^4+b^4____a^3*b+a*b^3
已知a>b,a-1/a>b-1/b同时成立，那么a*b应满足的条件是_____
【应用】：给出三个不等式⑴c／a＞d／b⑵bc＞ad⑶ab＞0 以上其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论所构造的命题中有几个真命题，请写出所有真命题，并加以证明.

Answer 1

1.因为直接看不明显那么用两式相减试试。左边-右边=a^4-a^3Xb+b^4-ab^3=a³(a-b)+b³(b-a)=(a³-b³)(a-b)=(a²+b²+ab)(a-b)²≥（丨2ab丨+ab）（a-b）²≥0当且仅当a=b时成立，中间用到了a³-b³=（a-b）（a²+b²+ab），因为不知a，b正负所以用均值不等式得出丨2ab丨恒大于ab，所以就判断出左边大于等于右边
2.设f（x）=x-1/x，则f‘（x）=1+1/x²＞0所以f（x）在定义域内单增，所以a＞b时且在y轴同侧时，f(a)＞f(b）即a-1/a＞b-1/b恒成立。可知ab＞0或ab＜0
3.第一个：2+3推出1，因为ab＞0，所以对2两边除以ab
第二个：1+3推出2，因为ab＞0，所以对1两边乘以ab
第三个：1+2推出3，反证法，设ab≤0，对1两边乘以ab则与2矛盾，所以得证。

Answer 2

1.a^4+b^4>=a^3*b+a*b^3.
2.a>b,a-1/a>b-1/b,
∴a-1/a-（b-1/b）=（a-b)+(a-b)/(ab)=(a-b)(ab-1)/(ab)>0,
∴(ab-1)/(ab)>0,
∴a*b应满足的条件是ab>1或ab<0.
3.(1)c／a＞d／b<==>(bc-ad)/(ab)>0.
⑵bc＞ad⑶ab＞0
命题1 （2），（3）==>(1);
命题2 （1），（3）==>(2);
命题3 （1）,(2)==>(3).