Question

如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP。过点P

作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF相交于点F。联结AF，与边CD相交于点G，联结PG。（1）求证AP=FP（2）圆P，圆G的半径分别是PB和GD，试判断圆P与圆G的位置关系，并说明理由（3）当BC取何值时，PG∥CF

Answer 1

如图，过点F做FM⊥BE于M，设PF交CD于N，设BP=a,PC=b,CM=FM=x

∴△ABP∽△PMF

∴BP/MF=AB/PM

∴a/x=(a+b)/(b+x)

∴a=x

在△ABP和△PMF中

BP=FM,∠ABP=∠PMF=90º,∠BAP=∠MPF

∴△ABP≌△PMF

∴AP=PF

圆P和圆G相外切

（2）因为AP=FP，PF⊥AP

故：∠PAG＝45度，故：∠BAP＋∠DAG＝45度

把△ABP绕A逆时针旋转90度，使AB与AD重合，P点旋转到N点

故：AP＝AN，DN＝BP，∠DAN＝∠BAP

因为∠ADG＝∠B＝90度

故：N、D、G三点在同一条直线上

故：∠GAN＝∠DAG＋∠DAN＝∠DAG＋∠BAP＝45度

因为AG＝AG

故：△APG≌△ANG

故：PG＝NG＝GD＋DN＝GD＋BP

因为⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD

故：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切

（3）如果PG‖CF，则：∠GPC＝∠ECF＝45度

故：∠GPC＝∠PGC＝45度

故：PC＝CG

故：BP＝GD

设：BP＝GD＝x，因为AB=2，PG＝GD＋BP

故：PC＝CG=2-x，PG=2x

在Rt△PCG中，PG²＝PC²＋CG²

(2x )²＝(2-x)²＋(2-x)²

故：x=2√2-2

故：当BP取2√2-2时，PG‖CF