Question

在倾角为α=30º的光滑斜面顶点处固定一原长的轻弹簧 如图所示，在倾角

如图所示，在倾角为α=30º的光滑斜面顶点处固定一原长l0=0.2m的轻弹簧，弹簧另一端与放在光滑斜面体上质量m=2Kg的物体C相连后，弹簧长度变为l1=0.25m。当斜面连同物体C一起绕竖直轴AB转动时，求：
①转速n=60r/min时弹簧的长度是多少.
②转速为多少时，物体C对斜面无压力？（g取10m/s²

Answer 1

解：由题意，首先计算弹簧倔强系数，F=kx，k=F/x,由图可知，F=G*sin30=2*10/2=10N，x=L1-L=0.25-0.2=0.05m,则k=10/0.05=200N/m；

(1)设此时弹簧长度为L2，角速度w=n*2π=60r/min*2π=1r/s*2π=2π rad/s,则此时向心力F2=mw^2*r=mw^2*L2*cos30=mw^2*L2*√3/2=2*4π^2*L2*√3/2=4π^2*L2*√3 N,向心力是弹簧拉力增量的分力，F2=Ft*cos30=k*x2*cos30，(Ft弹簧增力，x2弹簧伸长量)，又L2=L1 x2，方程联立，k*x2*cos30=4π^2*√3*(L1 x2),则x2=4π^2*L1/(k*cos30-4π^2*√3)=4π^2*0.25/(200*cos30-4π^2*√3)=0.094m

则L2=0.25 0.094=0.344m,即转速n=60r/min时弹簧的长度是0.344m；

(2)由题意受力分析，此时物体C只受弹簧拉力和重力，弹簧拉力的水平分力提供离心力，弹簧拉力的竖直分力与重力平衡，从而离心力和重力的关系为F0=G*cot30=√3*G=2*10*√3 N，弹簧拉力Ft0=2G=40 N，弹簧长度为L0=40/200 0.25=0.45m,转动半径为r0=L0*cos30，F0=mw0^2*r0=m*L0*cos30*w0^2，从而m*L0*cos30*w0^2=2*10*√3，
w0^2=20/0.45=40/9,w0=20/3=6.67r/s=400.2r/min

即转速为400.2r/min时，物体C对斜面无压力。

Answer 2

弹簧劲度系数k=mg sin30/（l1-l0） 第一问求出向心力，就能求出长度了。
第二问当向心力的竖直分力等于mg cos30时物体C对斜面无压力

Answer 3

先求出k，后面就非常简单了