Question

级数敛散性的判定

正项级数判定中，比值判定法，小于1可判定是收敛。
交错级数判定中，比值小于1可知后面比前面小，还需n趋于无穷时其趋于零。

可是后面总比前面小（不谈正负号），n趋于无穷时其肯定趋于零啊，为什么要多此一举？

如果n趋于无穷时，其能不趋于零，那么为什么正项级数只需比值小于零就可以判定收敛了？这不是矛盾。

Answer 1

如果后面不总是比前面小，大点小点大点小点....，级数不一定收敛
如果n趋于无穷时，an不趋于零，那么级数发散；
比值判定法是lim An+1/An=r<1
于是n较大时，An+1<rAn<r^2An-1<r^3An-2<r^4An-3<.....<r^nA1
由于级数r^nA1收敛，所以级数An收敛

追问

谢谢网友。
，正项级数判定时，要求比值小于1，实际上后面比前面小，但比值仍然可能为1（因为n趋于无穷）。
而交错级数判定的时候，只需要后面比前面小，不需要比值小于1。比正项级数收敛条件宽松，但又多出一个条件“n趋于无穷时，An趋于0”
为啥正项级数，比值小于1就可以确定收敛，确定An趋于0
而交错级数，后面比前面小还不过，还要再检验下An是否趋于0？

追答

你这么不看看我的回答？
n较大时，An+1<r^nA1，由于r<1，r^n趋于0，An趋于0
交错级数An趋于0是证明定理的需要。事实上，如果不趋于0就发散了