Question

高等数学计算题

1.设排水阴沟的横断面积一定,断面的上部是一个半圆,下部是一个矩形.问圆的半径和矩形的高之比为何值时,建沟所用材料最省?

2.半径为r的圆内接矩形,问矩形长和宽为多少时,矩形的面积最大?
最大面积是多少?

答案已经知道了,需要的是这两题应用题的计算的计算过程.谢谢~

Answer 1

最值理论：最值在内部坡峰坡谷处或者边界处取得！！！

定义域：（由不等式表示）
内部：（不等式不含等式的解）坡峰坡谷，如果函数连续可导则坡峰坡谷是驻点。
边界：（不等式中的等式的解。）
边界，等式（约束）处理（消元法:高数上册导数运用部分例题，添加变量法:l函数--高数下册导数运用部分）

结论
可导函数最值在驻点或者边界取得。

问题一
目标变量 高x宽y,
约束：截面面积 c=xy+(pai)yy/4
消元x=c/y-(pai)y/4
目标函数；f=2x+y+(pai)y=2c/y-(pai)y/2+y+(pai)y
=2c/y+(pai)y/2+y
f'=0解驻点就可以

问题一，二都是能用消元法变成一元函数的最值问题。
可见：你仅仅参考高数上册导数运用部分---
最值问题中任何一个应用题的例题就可以。

Answer 2

1、题目有问题啊
既然面积一定就无什么材料最省了
2、设长宽为a和b，则a^2+b^2=4r^2
矩形面积为S=ab<=(a^2+b^2)/2=2r^2，当a=b=r√2时最大面积为2r^2。
或者S(a)=a(4r^2-a^2),令S(a)'=0求得a=r√2=b