Question

已知x，y，z∈R.求证：x²+y²+z²+1>x+y+z

Answer 1

证明
由x²+y²+z²+1-x-y-z
=x²-x+y²-y+z²-z+1
=x²-x+(1/2)²+y²-y+(1/2)²+z²-z+(1/2)²+1-3×+(1/2)²
=（x-1/2)²+（y-1/2)²+（z-1/2)²+1-3×1/4
=（x-1/2)²+（y-1/2)²+（z-1/2)²+1/4＞0显然成立
即x²+y²+z²+1>x+y+z。

Answer 2

已知x，y，z∈R.求证：x²+y²+z²+1>x+y+z。
证明：不失一般性，设x,y,z均为正数。
只要证明x²+y²+z²+1－x－y－z>0。
∵x²+y²+z²+1－x－y－z＝(x²－x＋¼)＋(y²－y＋¼)＋(z²－z＋¼)＋¼
＝(x－½)²＋(y－½)²＋(z－½)²＋¼＞0+0+0+¼＝¼＞0.
所以，原不等式成立。

Answer 3

把这个式子变形得到(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2+1/4>0 所以恒成立