Question

数列{an}满足a1=-1,an+1=3an+2^n,求{an}通项公式

Answer 1

设a(n+1)+x*2^(n+1)=3(an+x*2^n)

求得x=1
设bn=an+2^n，则bn为以3为公比，a1+2^1为首项的等比数列
说以bn=b1*3^(n-1)
=3^(n-1)
所以an=bn-2^n=3^(n-1)-2^n

追问

为什么要这样设？
设a(n+1)+x*2^(n+1)=3(an+x*2^n)
约定俗成？有点想不到。

追答

凡是遇上已知首项，an+1=yan+f（n）
都要设成（an+xf1（n+1))=y（an+xf1（n））
因为我们要利用an前的系数y，使其构成一个以y为公比，每一项都与an相关的等比数列，以方便求解

Answer 2

解：
a(n+1)=3an+2ⁿ
a(n+1)+2^(n+1)=3an+2ⁿ+2^(n+1)=3an+3×2ⁿ=3(an+2ⁿ)
[a(n+1)+2^(n+1)]/(an+2ⁿ)=3，为定值。
a1+2=-1+2=1
数列{an+2ⁿ}是以1为首项，3为公比的等比数列。
an+2ⁿ=1×3^(n-1)=3^(n-1)
an=3^(n-1) -2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=3^(n-1)-2ⁿ。