Question

为什么某点二阶导存在能够说明一阶导在该点领域连续,而一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续?

我看到很多解释：因为二阶导的定义用到一阶导，所以一阶导在该点连续。那么同样的一阶导在该点存在，为什么就不能说明原函数在该点领域连续呢？例子什么的我都明白，就是搞不清这个逻辑，求解释！
如果一阶导数存在,不能说明在该点领域原函数连续那么是不是，二阶导存在也不能够说明一阶导在该点领域连续呢？

Answer 1

我个人认为你有道理。
设f''(x0)=lim[f'(x)-f'(x0)]/(x-x0)存在,于是lim[f'(x)-f'(x0)]=0
上式仅仅说明f'(x)在x=0连续，当然可以说明f(x)在x=0的某个邻域连续。但f‘(x)在x=0的某个邻域连续的理由不充分。
这样一来：一阶导数存在,不能说明在该点邻域原函数连续

我认为在某点二阶导存在，那么一阶导在该点领域连续有问题。
暂且这样认为，我抽时间仔细想想。

追问

是的，我也这么认为，而且我还特意买了两本参考书，书上并没有说f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在，他还提到如果在某点三阶可导，运用罗比达法则的时候一阶、二阶可以三阶就要用定义，那么如果仅仅只是说f‘(x)在邻域存在，而罗比达不是要求领域是可导的吗？如果邻域可导不就说邻域连续吗？这又跟f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说f‘(x)在邻域存在违背了。。。啊，纠结啊，谁来救救我！

追答

我想了下，前面我的回答是对的，即：在某点二阶导存在，不能确定一阶导在该点领邻域连续。
但你举的例子不完全说明问题：设f(x)在某点三阶可导,对于具体的函数，可以求出一阶、二阶并可判断是否连续。但对于涉及抽象的函数，用一次罗比达法则没问题，但用两次罗比达法则就有点问题。

追问

我今天也好好研究了一下，我觉得f‘(x)在x=0的某个邻域连续仅仅只是说明f‘(x)在邻域导数是存在的，并不能证明连续。洛必达也可以用两次，因为求f'（x）可以用一次,然后可以再用一次求f'‘（x），因为f(x)领域可导与f'(x)领域也是可导的。

Answer 2

可导必定连续
但连续不一定可导。
一阶导数存在,定能说明在该点领域原函数连续。

追问

不对啊，比如f(x)=x^2D(X),D(X)是狄利克雷函数，根据导数的定义f(x)在0导数是0，但是，原函数在0的领域不连续！

追答

对啊，“狄利克雷函数”特点是处处不连续、处处不可导。图象存在但不能画出

追问

但是在X=0处f(x)=（x^2）*D(X)是可导的！你可以看下这个帖子，里面有举例！http://tieba.baidu.com/p/942786308

追答

它的图象都不能画出，凭什么可导？

追问

用定义啊。。为什么要图？

追答

“处处不连续，但只在0点可导”
这用“定义”了吗？
导数的定义是什么？你复述一下？

追问

极限（x趋向于0）xD(X)=0
该极限存在，所以导数存在。
你要是觉得这个不是很好理解，你可以看吧我给的帖子里最后一楼的证明，他很严格的证明了另外一个函数，我找到其他人说的答案了。其实都是不能够说明领域连续。

追答

就上面的公式？？？

 

函数处处不连续，你x怎么趋近与0？？？

导数定义是这样的？？？

 

 

 

任何函数，必须连续，才能说“x趋近于某点”

否则 都是扯淡。

追问

都被弄糊涂了。。。唉

追答

那好，我糊涂。

你继续明白哈。在一个孤点前两边“连续”哈。

追问

我的意思是我糊涂了。。你想多了拉

追答

函数可导，必须连续。也就是说“连续是可导的必要条件”。
比如反比例函数y=1/X。你不管条件，直接就导出y‘=-1/X²是错误的！
为什么？因为此函数0点不连续。
其导函数为y‘=-1/X²是有条件的（-∞，0）（0，+∞）这两个 连续 的区间。

追问

这里说好麻烦。。用QQ或者其他的讨论可以吗？

追答

不再讨论了。我中庸之人。就知道导函数存在，必定原函数连续。这个不难理解，导数的物理意义就能说明问题。
在一个孤点前谈 什么x趋近于0？这不扯淡吗？？？

关于狄利克雷函数。前人以近定性：处处不连续、处处不可导、有图象但不能画出，周期函数、没有最小正周期……
如不是数学家。咱最好不要在这里浪费时间。并且我坚信：凭我的智慧不可能推翻前人的理论。
再见