Question

已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，

已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，MN⊥BD并与MD的平分线相交于O，延长MO到N，使NO＝MO，连结BN与ND，试说明：①四边形BNDM是菱形；②若∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，试求菱形BNDM各角的度数。

Answer 1

1.
由题意知：A、B、C、D四点共圆，M为圆心。
∴MB=MD
由此容易证得，四个小直角△OMB、△OMD、△ONB、△OND全等（直角三角形的两对应边相等）
∴四边形BNDM为菱形（四边相等）。

2.
你可能把条件输错了，因为前面已经说∠ABC＝∠ADC＝90°，估计这回可能是∠BAC＝30°...
∠CMB=2×∠BAC=2×30°=60°（圆心角是圆周角的2倍）
△CMD中：∠MCD=45°（已知），CM=CD（同为半径）
∴△CMD为等腰△
∴∠CDM=∠MCD=45°
∴∠CMD=180°-∠MCD-∠CDM=180°-45°-45°=90°
∴∠DMB=60°+90°=150°。
∠DNB=∠DMB=150°
相应地，∠MBN=∠MDN=180°-150°=30°。

Answer 2

①
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点
∴BM=DM=1/2AC
∵NO＝MO MN⊥BD
∴BM=BN DM=DN
∴BM=DM=DN=BN
∴四边形BNDM是菱形

Answer 3