Question

在三角形ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且(a+b+c)(a-b+c)=3ac

(1)求2sinAcosC-(A-C)的值(2)若b=3,求三角形ABC的周长最大值

Answer 1

(a＋b＋c)(a－b＋c)=3ac
(a＋c)²－b²=3ac
a²＋c²－b²=ac
则：
cosB=(a²＋c²－b²)/(2ac)=1/2
得：
B=60°

(1)
2sinAcosC－sin(A－C)
=2sinAcosC－(sinAcosC－cosAsinC)
=sinAcosC＋cosAsinC
=sin(A＋C)
=sinB
=√3/2

(2)
b=3
b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac=(a＋c)²－3ac
因为：(a＋c)≥2√(ac)
则：ac≤(1/4)(a＋c)²
得：3ac≤(3/4)(a＋c)²
则：(a＋c)²－b²≤(3/4)(a＋c)
(1/4)(a＋c)²≤b²
a＋c≤2b
则：周长是a＋b＋c≤3b=9
即三角形周长最大是9