Question

如图，顶点坐标为（2，-1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
只需解答第三问 谢谢！~

Answer 1

解：1）抛物线的顶点坐标为Q(2,-1)
所以 x=-b/2a=2 得 b= -4a
y=-b²/4a+c=-1 得
4a=c+1
点c（0,3）在抛物线上 得 c=3
得a=1 b=-4
所以抛物线方程为y=x²-4x+3
2）当 y=0时
x²-4x+3=0 解得 x1=3 ，x2=1
所以由题意得A(3,0) ,B(1,0)
所以AC的直线方程为
x+y=3
设P(x,y)
因为PD‖y轴
所以D的横坐标为x
所以D（x，3-x）
ΔADP是直角三角形时
所以①当∠DPA=90°P与B重合 为（1,0）
②当∠DAP=90时
向量 AP=(3-X,-y) 向量AD=(3,-3)
所以 9-3x+3y=0 得 y-x+3=0
在抛物线上 所以
x²-5x+6=0
得x1=2 或x2=3（舍去，P与A不重合）
所以
P(2，-1)
3)
①当P（1,0）时不存在以APEF为顶点的平行四边形
②当P(2，-1)
设 E(k,0)
F（x2,y2）
向量AP=(1,1) 向量FE=(x2-k,y2)

1×y2－1×(x2-k)=0 得y2=x2-k
注：平行四边形对边平行

2=（x2-k）²+y2 ² 所以y2 ²=1 注：平行四边形对边相等

当y2=1时y=x²-4x+3=1
得x ²-4x+2=0
解得x=（4±√8）/2=2±√2
当x=2-√2 k=x2-y2=2-√2-1=1-√2
当x=2+√2时
k=x2-y2=2+√2-1=1+√2
当y2=-1时 只有一点 舍去
所以F坐标为 （2-√2,1）或（2+√2,1）...

追问

这么快 你复制的不好啊 而且你也没复制对 你看看答案和问题 都扯不上边

Answer 2

解：求抛物线解析式自己求吧，这个很基础
第二问求面积：主要考虑到三角形ACD不是特殊三角形，如果求这个三角形的某条边长及其该边上的高要用到两点间距离公式和点到直线的距离公式，计算比较复杂，因此这题可考虑用间接法求面积，可以看到△OBC，三角形OAC,是直角三角形，所以底和高很容易求，△ADB，AB的长和D到AB 距离也很容易求得，因此三角形ADB的面积 也很容易求，△ACD的面积=△OBC-△AOC-△ADB，这样就求出了
第三问，你可以想，△BCO是直角三角形，让2个直角三角形相似只需要一个条件，有一个角相等即可（直角除外）
因此这里分情况讨论，∠DEF不可能是直角，所以分（1）∠DFE为直角和（2）∠EDF为直角时
（1）若∠DFE为直角，则DF∥OB，这样就能求出F的坐标，这里的然后因为EF∥y轴，求出E的横坐标，然后利用E在BC上求出E的纵坐标，这样就求出了E的坐标
（2）若∠EDF为直角，则有DF⊥BC，若两直线垂直，则两直线的斜率之积=-1，这样就求出了DF的斜率，再跟D的坐标求出直线DF的表达式，然后联立直线AD与抛物线方程求出交点坐标，这样能求出F有2个，然后根据tan∠DEF=tan∠B或者tan∠DFE=tan∠B求出E的坐标