Question

初三数学题压轴题

如图,OA,OB的长分别是关于x的方程x^2-12x+32=0的两根，且OA>OB，解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式；
（2）沿经过O的某直线折叠，使B落在线段AB上的点P处，求直线OP解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得点A、O、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，直接写出点Q坐标

Answer 1

解：
（1）因为方程x^2-12x+32=0的两根为
X1=8,x2=4
由于OA,OB的长为方程的两根，则必有OA=8,0B=4
根据图示AB的位置关系，则：
点A的坐标为A（-8,0），点B的坐标为B（0,4）
设经过AB的直线方程为：Y=KX+4
将A(-8,0)带入求得K=1/2
则直线AB的方程为y=x/2+4

(2)设P点坐标为P(m,n)
P点在直线y=x/2+4上，则有：
m/2+4=n
因为：AP/PB=1/3
则：√[（m+8）^2+n^2]/ √[m^2+(n-4)^2]=1/3
即[（m+8）^2+n^2]/ [m^2+(n-4)^2]=1/9
将m/2+4=n带入方程消去n并整理可得：
m^2+18m+72=0
解得m=-6或-12
因为P在AB上，则必有-8<=m<=0
则m=-6，n=1
则P坐标为P（-6,1）
设反比例函数为y=k/x
将y的坐标带入可得：k=-6
则y=-6/x

(3)由前面的计算可知：A(-8,0),P(-6,1)则AP=√（2^2+1^2）=√5
显然OA=8>AP=√5,而OP=√37<OA=8
则OA边必定不能为梯形的腰，由图示OA与AP线段的位置可知：
要使得四边形APOQ为等腰梯形,必然OA为梯形的下底，AP为腰。
问题转化为在△AOB内是否存在一点Q使得四边形APOQ为等腰梯形。
不妨假设存在点Q（s，t）使得四边形APOQ为等腰梯形，那么必有：
PQ∥OA,即必有t的值为P点的纵坐标，即t=1
则Q坐标为（s，1）
由等腰梯形两腰相等，则必有：
OQ=AP
即√(s^2+1)= √3
解得：s=±√2
由于点Q在△AOB内，则-8<=s<=0
所以s=-√2
则点Q坐标为(-√2,1)
由上面的计算可知，存在这样的点Q使得四边形APOQ为等腰梯形，点Q坐标为：
Q(-√2,1)

Answer 2

(1) x1=4,x2=8
A(-8,0), B(0,4)
AB: y=1/2x+4
(2)设P(a, a/2+4)
OP=OB=4
a^2+(a/2+4)^2=4^2
5/4*a^2+4a=0
a=0(舍去)
a=-16/5
a/2+4=12/5
OP: y=kx
12/5=-16/5*k
k=-3/4
y=-3/4x
(3)看到已被采纳，实际是错的，不写了

Answer 3

解：由OA,OB的长分别是关于x的方程x²-12x+32=0的两根，且OA>OB
则 OA=8，OB=4
又 A在x负半轴，B在y正半轴，则 A(-8,0) B(0,4)
∴ 直线AB的解析式为 y=x/2+4