Question

数学大神进

已知o为三角形abc的外心，若5 倍的向量oa+12倍向量ob-13倍o c=0,则角c的度数为

Answer 1

13OC=5OA+12OB

OC=5OA/13+12OB/13

平方得OC²=(25OA²+144OB²+120OA*OBcos∠AOB)/169

所以169=169+120cos∠AOB

cos∠AOB=0，

∠AOB=90°，∠C=180°-45°=135°.

方法二：平行四边形法则，如图

由图可知∠AOB=90°，所以∠C=135°.

Answer 2

5OA+12OB-13OC=0，即：5OA+12OB=13OC
即：13^2|OC|^2=(5OA+12OB)·(5OA+12OB)=5^2|OA|^2+12^2|OB|^2+120OA·OB
=5^2|OA|^2+12^2|OB|^2+120|OA|*|OB|*cos(∠AOB)
O是外心，故：|OA|=|OB|=|OC|
即：13^2=5^2+12^2+120cos(∠AOB)
即：cos(∠AOB)=0，即：∠AOB=π/2
注意，因为向量夹角的范围是[0,π]，所以∠AOB只能给出π/2
但实际上OA与OB在三角形中成的角可以是大于π的
即对应O点在三角形外的情况，此时，∠C为大于π/2的角
其实此题的∠AOB要按照三角形里的角来处理
即：∠AOB=3π/2，故：∠ACB=∠AOB/2=3π/4
主要依据：13OC=5OA+12OB，说明OC的方向要在OA和OB之间
这里用的又是向量的夹角概念，即说明O点在三角形外
如果题干换作：5OA+12OB+13OC=0，则：∠ACB=π/4

Answer 3

角C为45度，理由如下:因为O为外心，所以oa=ob=oc。又因为5oa 12ob-13oc=0，所以5oa 12ob=13oc，在平行四边形AOBC‘中，对角线OC‘=13，两邻边OA=5、OB=12，综上所述:角AOB=90度，又由圆周角等于圆心角的一半可知角C=45度。

Answer 4

角c的度数为90度

Answer 5

多年不看书，向量的知识完全生疏了，岁月啊