Question

排列组合题目

从给定的六种不同颜色选出若干种，将一个正方体的六个面涂色，每两个具有公共陵的面涂成不同颜色，则不同的涂色方案有多少种？答案是230种，我看不懂为什么不是A（6,6）是六种颜色，答案是5*3！什么意思啊，求高手赐教

Answer 1

将问题分成4种情况，6个面6种不同颜色，一对平行面同色，2对同色和3对同色

1. 6种不同颜色，首先选定正面涂上一个颜色，这里用意是先“固定”住方块，不会有方块旋转后颜色重复的情况出现，然后剩下5种颜色，选择4种颜色，有C4 5种方法，涂在跟正面相交的4个平面上，此处同上，先选定一个面涂上固定颜色，再在剩下3种颜色上排列有A3 3种，最后剩下跟正面平行的背面，颜色已经确定。即不同方案共C4 5*A3 3=30种

2. 一对平行面同色，先涂平行面，6种颜色即6种方法，再涂相交面，5种颜色选4种C5 4，再枚举，有3种情况（给颜色编号1234，则只有1234 1243 1324 其他情况均可以通过这3种旋转得到）。即总共不同方案6*C5 4*3=90种

3. 2对同色，还是先涂平行面，6种颜色选2种涂上即C2 6种，剩下4种选2种涂在剩下平面上即C2 4种。不同方案C2 6*C2 4=90种

4. 3对同色，6种颜色选3种涂上即得C3 6=20种

    

上述4种情况相加30+90+90+20=230种，得解

 

 

此题难点在于“固定”方块，不出现旋转后重复的情况

追问

为什么要固定住一面，6种颜色涂六个面为什会出现颜色重复的情况，还是有些不明白？

追答

不固定住一面，例如正面涂上颜色1，对面涂6，邻面一次涂2345，则当正面涂2的时候，对面涂4，邻面涂1356，这里会出现一种通过旋转跟上面重复的情况，这时候计算显得麻烦而笨重

因为6面都不重复，每种颜色都必定要用到，何不首先选定一种颜色涂在一个面上，这样其他涂色方案无法通过旋转跟上面情况重复，计算变的简单

Answer 2

这道题可以这样思考：
三个平行面用三种颜色：C(6,3)=20
两个平行面用两种颜色，另外二个面使用2种颜色：C(6,2)*C(4,2)=90
一个平行面使用一种颜色，另外四个面使用4种颜色：C(6,1)*C(5,4)=30
六个面颜色不同，相邻的两个面互换：C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=90
以上组合是没有重复的
涂色方案=20+90+30+90=230

Answer 3

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