求证a³+b³+c³+3abc＞2(a+b)c²，a.b.c都大于0三者不相等且a+b＞c
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∵a、b、c均大于0不相等，且a+b>c，
∴(a³+b³+c³+3abc)-2(a+b)c²
=[(a+b)(a²-ab+b²)+c³+3abc]-2(a+b)c²
>[c(a²-ab+b²)+c³+3abc]-2(a+b)c²
={c[(a+b)²-3ab]+c³+3abc}-2(a+b)c²
=[c(a+b)²-3abc+c³+3abc]-2(a+b)c²
=[c(a+b)²+c³]-2(a+b)c²
=c[(a+b)²+c²-2(a+b)c]
=c(a+b-c)²
>0。
∴a³+b³+c³+3abc＞2(a+b)c²
∴(a³+b³+c³+3abc)-2(a+b)c²
=[(a+b)(a²-ab+b²)+c³+3abc]-2(a+b)c²
>[c(a²-ab+b²)+c³+3abc]-2(a+b)c²
={c[(a+b)²-3ab]+c³+3abc}-2(a+b)c²
=[c(a+b)²-3abc+c³+3abc]-2(a+b)c²
=[c(a+b)²+c³]-2(a+b)c²
=c[(a+b)²+c²-2(a+b)c]
=c(a+b-c)²
>0。
∴a³+b³+c³+3abc＞2(a+b)c²
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