Question

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）。

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)相交于A.B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）。
求
1）若椭圆的离心率为√3/3，求椭圆的标准方程。
2）求证：不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P坐标。

Answer 1

解：
1)
x²/a²+y²/b²=1
y=-x+1
联立
x²/a²+(-x+1)²/b²=1
b²x²+a²(-x+1)²=a²b²
(a²+b²)x²-2a²x+a²-a²b²=0
由韦达定理
x1+x2=2a²/(a²+b²)
x1x2=(a²-a²b²)/(a²+b²)
k(OA)k(OB)
=y1/x1*y2/x2
=(y1y2)/(x1x2)
=[(-x1+1)(-x2+1)]/(x1x2)
=[x1x2-(x1+x2)+1]/(x1x2)
=[a²-a²b²-2a²+a²+b²]/(2a²)
=(b²-a²b²)/(2a²)
=-1
又离心率e=c/a=√3/3
b=√6/3*a
带入上式
2/3*a²-a²*(2/3)*a²=-2a²
解出a²=4
b²=8/3
椭圆方程为
x²/4+3y²/8=1
2)去掉离心率呢为√3/3的条件，
应该满足(b²-a²b²)/(2a²)=-1
b²-a²b²=-2a²
2a²+b²=a²b²
1/a²+2/b²=1
所以恒经过第一象限内的点(1,√2)

如仍有疑惑，欢迎追问。
祝：学习进步！