Question

高中数学 二项式定理应用问题

（x+a/x）(2x-1/x)^5的展开式中各项系数和为2 则该展开式中常数项为_____？

求详解。

Answer 1

令x都取1，即可得到各项系数和
（1+a)(2-1)^5=1+a=2
故a=1
常数项主要有2部分构成
1） 第一项中的x与后一个二项式展开中的1/x相乘，1/x项为C(5，3)(2x)^2(-1/x)^3=-40*1/x
故系数为-40
2）第一项中的1/x与后面一个二项展开式中的x相乘，x项为C(5，2)(2x)^3（-1/x)^2=80x
故系数为80
两部分相加，结果40

故该展开式的常数项为40

追问

为什么令x=1呢？

追答

对一般的多项式f(x)=a0+a1*x^1+a2*x^2+…+an*x^n
令x=1即可获得a0+a1+a2+…+an的值
该二项式展开后必定为一个多项式

追问

那我也不知道(2x-1/x)^5里会不会有某一项的2x^（n-k)·（-1/x）^k等于常数啊？
还是我要先证明一下没有 才可以代1？

追答

一般不需要证明
如果你要证明的话，你可以这样写
Tr+1=C(n,r)(2x)^(n-r)(-1/x)^n
=C(n,r)*2^(n-r)*(-1)^n*x^(n-r-r)
由于n=5
故x的次数为5-2r
令5-2r=0
得r=5/2不是整数
故此二项式没有常数项

追问

它不是展开一共6项么？那不是一共有6个（x+a/x）需要相加等于2啊？
各项系数的和为2 是说每个系数都是2还是所有系数加起来等于2……？

追答

（x+a/x）(2x-1/x)^5展开共12项，（x+a/x）：2项，(2x-1/x)^5： 6项。相乘可得12项，然后再进行合并同类项，那就不考虑的
2为所有项的系数之和

追问

那为什么不是12（1+a）=2啊？

追答

你后面一个二项式也要产生系数的啊，简单点看，比如
(x+a/x)(2x-1/x)这里相乘可得4项，
但是系数和是a+1(你可以乘一下看看），而不是你想的4(1+a)啊，

Answer 2

令x=1得到(x+a/x)(2x-1/x)^5
的展开式中各项系数的和表达式
1+a=2,∴a=1
∴(x+a/x)(2x-1/x)^5
即(x+1/x)(2x-1/x)^5
根据多项式乘法规则，得到展开式
的常数项有2种途径：
1)用(x+1/x）中的x乘以(2x-1/x)^5展开式中的1/x项
设为Tr+1=C(5,r)*(2x)^(5-r)*(-1/x)^r
=(-1)^r*2^(5-r)*C(5,r)*x^(5-2r)
由5-2r=-1,得r=3 ∴系数为-C(5,3)*2^2=-40
2)用1/x项乘以(2x-1/x)^5展开式中的x项
由5-2r=1,得r=2 ∴系数为C(5,3)*2^3=80
将1)2)合并得：-40+80=40

追问

为什么令x=1呢？

追答

(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+---+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n---（1）
展开式中各项系数和=C(n,0)+C(n,1)+---+C(n,n-1)+C(n,n)----（2）
所以令a=b=1时，才把（1）式变为（2）式才可以求和即(1+1)^n

追问

那我也不知道(2x-1/x)^5里会不会有某一项的2x^（n-k)·（-1/x）^k等于常数啊？
还是我要先证明一下没有 才可以代1？
另外你最后一行 是a+b=1么？

追答

x=1，（2x-1/x)^5=1，(x+a/x)=1+a
代1不需要证明的
2x^（n-k)·（-1/x）^k等于常数=X的0次就行了
另外你最后一行 是a+b=2

追问

一共12项 为什么不是为什么不是12（1+a）=2而是1+a=2呢……

追答

如果x=1代入右边需要一个一个共有12项不错，但左边=右边，
x=1代入左边不就是：（x+a/x）(2x-1/x)^5=（1+a）*(2-1/1)^5=1+a 吗？

Answer 3

其实此题有漏洞，应该指明a是个常数，否则“各项系数之和为2”的条件不说自明，改正后可采用“hlxie405|十一级”和“polo_zs|五级”的解法。也可以这样：
a=1不再重复计算，相信你只要随便写一个二项展开式就可以明白上述二位求法的。
原式=[(x²+1)(2x²-1)^5]/x^6
故求原式展开式中常数项的问题就转化为求(x²+1)(2x²-1)^5展开式中x^6项系数的问题。
由于(x²+1)(2x²-1)^5=x²(2x²-1)^5+(2x²-1)^5
故(x²+1)(2x²-1)^5展开式中x^6项由两部分组成：
一是x²(2x²-1)^5的展开式中x^6项，即(2x²-1)^5的x^4项。
Tr+1=C(5,r)*(2x²)^(5-r)*(-1)^r
r=3时
T4=C(5,3)*(2x²)^(2)*(-1)^3
=-40x^4
二是(2x²-1)^5的展开式中x^6项。
Tr+1=C(5,r)*(2x²)^(5-r)*(-1)^r
r=2
T3=C(5,3)*(2x²)^(3)*(-1)^2
=80x^6
总之，(x²+1)(2x²-1)^5展开式中x^6项为-40x^6+80x^6=40x^6
即（x+a/x）(2x-1/x)^5的展开式中常数项为40.

追问

这是高考题啊 不会漏吧。

追答

不要迷信高考题，命题人员有时也会考虑不全的。
此题中必须明确a是常数，x是字母，否则定是错题！

Answer 4

令x=1，则结果表示展开式中各项系数和，
故（1+a）（2-1）^5=2
a=1
原式为（x+1/x）(2x-1/x)^5
因此常数项为：
x*C(2,5)*(2x)^2*(-1/x)^3+1/x*C(3,5)*(2x)^3*(-1/x)^2
=10*4*（-1）+10*8*1
=40

追问

为什么令x=1呢？

追答

你想啊，展开后结果是∑（an*x^m）这种类型的，
其中m为x的指数，an是x^m的系数。
由于1^m=1，
令x=1，则结果为∑（an*1^m）=∑（an）
即为展开式中各项系数和
这种方法很常用，有时根据题目要求，会给x代入不同值。

追问

那我也不知道(2x-1/x)^5里会不会有某一项的2x^（n-k)·（-1/x）^k等于常数啊？
还是我要先证明一下没有 才可以代1？

追答

不需要，因为展开式中各项系数和包括常数项x^0=1的系数，该系数简称为常数项
常数项用an*x^0表示，
1^0=1仍然成立
因此，无论有没有常数项，将x=1代入即可