Question

已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)

已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上（2）已知直线l过点F，且与椭圆交于A.B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得向量QA·QB=－7/16恒成立。若存在求出Q点坐标

Answer 1

已知椭圆C;x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,√2/2)在椭圆上（2）已知直线L过点F，且与椭圆交于A.B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得向量QA•QB=-7/16恒成立。若存在求出Q点坐标
解：c=1；将点(-1，,√2/2)代入椭圆方程得：1/a²+1/(2b²)=1.........(1)；a²-b²=1............(2)
由(1)得2b²+a²=2a²b²，将a²=b²+1代入得2b²+b²+1=2(b²+1)b²，2b⁴-b²-1=(2b²+1)(b²-1)=0，
故得b²=1，a²=2，于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.即x²+2y²-2=0.
设过右焦点F(1，0)的直线方程为y=k(x-1)，代入椭圆方程得x²+2k²(x-1)²-2=0，
化简得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0；设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；依维达定理，可知：
x₁+x₂=4k²/(1+2k²)；x₁x₂=2(k²-1)/(1+2k²)；
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2(k²-1)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1]=-k²/(1+2k²)；
设Q(m，0)；那么QA=(x₁-m，y₁)；QB=(x₂-m，y₂)；
于是QA•QB=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=2(k²-1)/(1+2k²)-4mk²/(1+2k²)+m²-k²/(1+2k²)=[(2m²-4m+1)k²+m²-2]/(1+2k²)..........(3)
令m²-2=-7/16..........(4)，得m²=2-7/16=25/16，故得m=5/4；
此时2m²-4m+1=50/16-5+1=50/16-4=-14/16............(5)；
将(4)和(5)代入(3)式得[(-14/16)k²-7/16]/(1+2k²)=-(7/16)(2k²+1)/(1+2k²)≡-7/16。
即x轴上存在一定点Q(5/4，0)使得QA•QB=-7/16【即此时QA•QB的值与直线y=k(x-1)的斜率无关】.

Answer 2

解：<1>c=1; 点（-1，√2/2）在椭圆上，有1/a^2+1/2b^2=1....1#
又 a^2-c^2=b^2 带入1# 得出 a^2=2或者a^2=1/2(舍去，因为椭圆里a>c)
标准方程: x^2/2+y^2 = 1

<2>
椭圆方程为 x^2 + 2y^2 = 2
设直线l 为 my+1 = x (斜率k=1/m,其实就是 y=k(x-1))代入椭圆方程
得到 (my+1)^2+2y^2-2 = 0 即 (m^2+2)y^2+2my-1=0.....1#

设Q坐标(x3,0) A(x1,y1),B(x2,y2)向量QAQB=-7/16等价于 x1x2-x3(x1+x2)+x3^2+y1y2 =-7/16(2#)恒成立

y1y2 = -1/(m^2+2); x1+x2 = 2+m(y1+y2) = 2-2m^2/(m^2+2)=4/ (m^2+2)
x1x2 = m(y1+y2)+1+y1y2m^2 = (-2m^2+m^2+2-m^2)/(m^2+2)=6/(m^2+2)-2
带入2# 令N=m^2+2
6/N-x3*4/N+x3^2-1/N=25/16
(1/N)(5-4x3) = 25/16-x3^2 恒成立

1@ 当x3 = 5/4时,左边=0，右边也=0，恒成立！ 检验当直线平行于X轴时，也成立(想想为什么不是平行于Y轴）
2@ 当x3≠ 5/4 时候,1/N = 5/4-x3 右边为常数但左边是变量，不成立

所以存在定点Q(5/4,0）使得命题恒成立

追问

我都按这步骤写的，到代入的时候，我怎么都算不对了。

追答

做这种题目,难度不算太大,就是考你的运算能力,稍微一马虎就做错了.

追问

像x1x2=6/（m2+2）-2 我自己算得时候就直接通分写成x1x2=（-2m2+2）/2+m2 你怎么知道不要通分呢，我通分了就算不出答案了。
你考虑了斜率为0的时候，那么斜率不存在的时候呢，就是你括号里说的，