Question

高等数学的应用题

1.设排水阴沟的横断面积一定,断面的上部是一个半圆,下部是一个矩形.问圆的半径和矩形的高之比为何值时,建沟所用材料最省?
(在书上看到答案是 半径:高=1) 不知道是否正确

2.半径为r的圆内接矩形,问矩形长和宽为多少时,矩形的面积最大?
最大面积是多少?
(在书上看到答案是 长和宽都为2√r时,最大面积为4*r的平方) 不知道是否正确

请会做的朋友写上完整的计算机过程和步骤.答案就可以了.
本人数学水平差,只说用什么方法去求,我也看不明白.

Answer 1

设圆半径为r，矩形的高为h
0.5*pi*r^2+2r*h=C， C为某定值
所用材料y=(pi*r+2h+2r)*l，l为排水阴沟的长
若l一定，则当(pi+2)r+2h最小时，y最小
(pi+2)r+2h
=(pi+2)r+C/r-0.5*pi*r
=(0.5*pi+2)r+C/r
其最小值在(0.5*pi+2)r=C/r时取得
r=√(C/(0.5*pi+2))
h=C/2r-0.25*pi*r
r/h=2r^2/(C-0.25*pi*r^2)
=2C/(0.5*pi+2)/(C-0.25*pi*C/(0.5*pi+2))
=2/(0.5*pi+2-0.25*pi)
=2/(0.25*pi+2)

2
设长，宽分别为x,y,其对角线为直径=2r
x^2+y^2=4r^2
S=xy
=-0.5(x-y)^2+0.5(x^2+y^2)
=2r^2-0.5(x-y)^2
当x=y时有最大值，最大值为2r^2
此时x=y=r√2