函数f(x)=(1/x)-1/(e^x-1)在x=0处连续，求f'(0).洛必达法则我会，用泰勒展开式来求解，怎么求 10
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e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+....+x^n/n!
带入得到
f(x)=1/x-1/(x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!)
=[1+x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!-1]/(x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!)
=[1/2!+x/3!+...+x^(n-2)/n!]/[1+2x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!]
x趋向于0时
f(x)=(1/2!)/1=1/2
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=[1/2!+x/3!+...+x^(n-2)/n!]/[1+2x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!]
x趋向于0时
f(x)=(1/2!)/1=1/2
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追问
求的是f'(0)不是f(0)
追答
抱歉，方法一样啊.
limf'(0)=lim-1/x^2+e^x/(e^x-1)^2
=lim-1/x^2+1/(e^x-1)^2
=lim{[(1+x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!]^2-1}/[x^2(1+x/2! +...+x^(n-1)/n!]
=lim{[(1+x/2!+x^2/3!+...+x^(n-1)/n!]^2-1}/x^2
=lim(2*x/2!+x^2/(2!)^2+C(x)]/x^2 C(x)为x^2的高阶无穷小
=lim(x+x^2/4)/x^2
其极限不存在
故f'(0)不存在
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