设随机变量X 服从几何分布,分布律为p{X=K}=P*(1-P)的k-1次方

设随机变量X服从几何分布,分布律为p{X=K}=P*(1-P)的k-1次方,k=1.2.....其中0<p<1是常数.求E(x),D(x)... 设随机变量X 服从几何分布,分布律为p{X=K}=P*(1-P)的k-1次方,k=1.2.....其中0<p<1是常数.求E(x),D(x) 展开
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利用幂级数展开式(通过1/(1-x)=∑{k,0,∞}x^k,x∈(-1,1)容易证明):

1/(1-x)²=1+2x+3x²+4x³+…=∑{k,0,∞}(k+1)*x^k,x∈(-1,1)

①注意到0<1-p<1

E(X)=∑{k,1,∞}k*p*(1-p)^(k-1)

=p*∑{k,0,∞}(k+1)*(1-p)^k

=p*1/[1-(1-p)]²

由①=1/p为计算D(X),可先求出幂级数∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k,x∈(-1,1)的和函数

令S(x)=∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k,x∈(-1,1),则

∫{0,x}S(x)dx=∫{0,x}[∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k]dx

=∑{k,0,∞}∫{0,x}

[(k+1)²*x^k]dx

=∑{k,0,∞}(k+1)*x^(k+1)

=x*∑{k,0,∞}(k+1)*x^k

=x*1/(1-x)²

由①S(x)=[x/(1-x)²]'=(1+x)/(1-x)³,即

∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k=(1+x)/(1-x)³,x∈(-1,1)

②∵E(X²)=∑{k,1,∞}k²*p*(1-p)^(k-1)

=p*∑{k,0,∞}(k+1)²*(1-p)^k

=p*[1+(1-p)]/[1-(1-p)]³

由②=(2-p)/p²

∴D(X)=E(X²)-[E(X)]²

=(2-p)/p²-1/p²

=(1-p)/p²

扩展资料:

随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物,在一定时间内死亡的只数;某地若干名男性健康成人中,每人血红蛋白量的测定值;等等。另有一些现象并不直接表现为数量,例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等,但我们可以规定男性为1,女性为0,则非数量标志也可以用数量来表示。

这些例子中所提到的量,尽管它们的具体内容是各式各样的,但从数学观点来看,它们表现了同一种情况,这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值,而在进行试验或测量之前,我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。

参考资料来源:百度百科-随机变量

光点科技
2023-08-15 广告
通常情况下,我们会按照结构模型把系统产生的数据分为三种类型:结构化数据、半结构化数据和非结构化数据。结构化数据,即行数据,是存储在数据库里,可以用二维表结构来逻辑表达实现的数据。最常见的就是数字数据和文本数据,它们可以某种标准格式存在于文件... 点击进入详情页
本回答由光点科技提供
匿名用户
2013-05-15
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E(x)=1/p,D(x)=(1-p)/(p^2)。
以上两条可以把它们当成公式记住。
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LQA9668
2019-12-23 · TA获得超过2911个赞
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像这些题啊,最好你问一下老师,你老师会认真给你解释的。
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渴侯雅素3Q
2019-12-06 · TA获得超过756个赞
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这个,太难了吧,。。。
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蕾蕾卉儿
推荐于2018-07-24 · TA获得超过217个赞
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下面的计算利用幂级数展开式(通过1/(1-x)=∑{k,0,∞}x^k,x∈(-1,1)容易证明) :
1/(1-x)²=1+2x+3x²+4x³+…=∑{k,0,∞}(k+1)*x^k,x∈(-1,1) ①

注意到0<1-p<1
E(X)=∑{k,1,∞}k*p*(1-p)^(k-1)
=p*∑{k,0,∞}(k+1)*(1-p)^k
=p*1/[1-(1-p)]² 由①
=1/p

为计算D(X),可先求出幂级数∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k,x∈(-1,1)的和函数
令S(x)=∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k,x∈(-1,1),则
∫{0,x}S(x)dx=∫{0,x}[∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k]dx
=∑{k,0,∞}∫{0,x} [(k+1)²*x^k]dx
=∑{k,0,∞}(k+1)*x^(k+1)
=x*∑{k,0,∞}(k+1)*x^k
=x*1/(1-x)² 由①
S(x)=[ x/(1-x)²]'=(1+x)/(1-x)³,即
∑{k,0,∞}(k+1)²*x^k=(1+x)/(1-x)³,x∈(-1,1) ②

∵E(X²)=∑{k,1,∞}k²*p*(1-p)^(k-1)
=p*∑{k,0,∞}(k+1)²*(1-p)^k
=p*[1+(1-p)]/[1-(1-p)]³ 由②
=(2-p)/p²

∴D(X)= E(X²)-[E(X)]²
=(2-p)/p²-1/p²
=(1-p)/p²
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