2013初三西城数学一模第22题详解
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北京市西城区2013年初三一模试卷
数 学 2013. 5
考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的相反数是
A． B． C．3 D．
2．上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心，该项目营业面积约130 000平方米，130 000用科学记数法表示应为
A．1.3×105 B．1.3×104 C．13×104 D．0.13×106
3．如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．
若∠1=25°，则 的度数为
A．15° B．50°
C．25° D．12.5°
4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为
A． B． C． D．1
5．若菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的边长为
A．5 B．6 C．8 D．10
6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 1 4 2 3 2
则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A．16，15 B．15，15.5 C．15，17 D．15，16
7．由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，则构成这个几何体
的小正方体共有
A．6个
B．7个
C．8个
D．9个
8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之
间的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10．分解因式： = ．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=45°.
若AD=2，BC=8，则AB的长为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．
第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；
第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；
第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；
第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；
……
依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），
则n= ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．解不等式组 并求它的所有整数解．
15．如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．
(1) 求证：△DAB≌△DCE；
(2) 求证：DA∥EC．
16．已知 ，求 的值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数 与反比例函数 的图象在
第二象限交于点A，且点A的横坐标为 ．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 点B的坐标为(-3,0)，若点P在y轴上，
且△AOB的面积与△AOP的面积相等，
直接写出点P的坐标．
18．列方程（组）解应用题：
某工厂原计划生产2400台空气净化器，由于天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了1200台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产10台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．
(1) 求AC的长；
(2) 求△AOD的面积．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于
点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
(1) 求证：EF与⊙O相切；
(2) 若AE=6，sin∠CFD= ，求EB的长．
21．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．
年份 年增长率（精确到1%）
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题：
(1) 北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ；（结果精确到1%）
(2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）
(3) 如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请
你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年．（填写年份）
22．先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，
同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均
为⊙O上的点，则有∠C=∠D．
小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，
则有∠D>∠E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，
点C的坐标为(3,0) ．
①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在 轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为 ；
(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)，
其中m>n>0．点P为 轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：无论 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 抛物线 与 轴的一个交点的横坐标为 ，其中 ，将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到抛物线 ．求抛物
线 的解析式；
(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式
的值．
24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= ，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos =_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA= ，PB= ，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA= ，PB= ，PC= ，且 ，直接写出∠APB的度数．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与 轴、 轴分别交于点A和点B(0,-1)，抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4,n)．
(1) 求 的值和抛物线的解析式；
(2) 点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0< t <4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
(3) M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
数 学 2013. 5
考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的相反数是
A． B． C．3 D．
2．上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心，该项目营业面积约130 000平方米，130 000用科学记数法表示应为
A．1.3×105 B．1.3×104 C．13×104 D．0.13×106
3．如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．
若∠1=25°，则 的度数为
A．15° B．50°
C．25° D．12.5°
4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为
A． B． C． D．1
5．若菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的边长为
A．5 B．6 C．8 D．10
6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 1 4 2 3 2
则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A．16，15 B．15，15.5 C．15，17 D．15，16
7．由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，则构成这个几何体
的小正方体共有
A．6个
B．7个
C．8个
D．9个
8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之
间的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10．分解因式： = ．
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=45°.
若AD=2，BC=8，则AB的长为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．
第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；
第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；
第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；
第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；
……
依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），
则n= ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．解不等式组 并求它的所有整数解．
15．如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．
(1) 求证：△DAB≌△DCE；
(2) 求证：DA∥EC．
16．已知 ，求 的值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数 与反比例函数 的图象在
第二象限交于点A，且点A的横坐标为 ．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 点B的坐标为(-3,0)，若点P在y轴上，
且△AOB的面积与△AOP的面积相等，
直接写出点P的坐标．
18．列方程（组）解应用题：
某工厂原计划生产2400台空气净化器，由于天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了1200台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产10台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．
(1) 求AC的长；
(2) 求△AOD的面积．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于
点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
(1) 求证：EF与⊙O相切；
(2) 若AE=6，sin∠CFD= ，求EB的长．
21．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．
年份 年增长率（精确到1%）
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题：
(1) 北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ；（结果精确到1%）
(2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）
(3) 如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请
你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年．（填写年份）
22．先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，
同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均
为⊙O上的点，则有∠C=∠D．
小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，
则有∠D>∠E．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，
点C的坐标为(3,0) ．
①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在 轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为 ；
(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)，
其中m>n>0．点P为 轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：无论 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 抛物线 与 轴的一个交点的横坐标为 ，其中 ，将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到抛物线 ．求抛物
线 的解析式；
(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式
的值．
24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= ，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos =_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA= ，PB= ，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA= ，PB= ，PC= ，且 ，直接写出∠APB的度数．
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与 轴、 轴分别交于点A和点B(0,-1)，抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4,n)．
(1) 求 的值和抛物线的解析式；
(2) 点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0< t <4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
(3) M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
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