Question

求大神帮忙解答关于反常积分的计算题∫e∧(-x²)dx积分上限为+∞下限为0

Answer 1

解答如下：

In=∫(0,+∞) x^n*e^(-x) dx

=∫(0,+∞) -x^n de^(-x)

=[-x^n*e^x](+∞,0)-∫(0,+∞) e^-x *n*x^(n-1) dx

=0+n∫(0,+∞) x^(n-1)*e(-x) dx

=n In-1

而I0=1

故In=n!

对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。

因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

Answer 2

法一：
∫(0→+∞) e^(- x²) dx
= (1/2)∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
= (1/2)I
I² = ∫∫ e^(- x² - y²) dxdy = ∫∫ e^[- (x² + y²)] dxdy
{ x = rcosθ，0 ≤ θ ≤ 2π
{ y = rsinθ，0 ≤ r ≤ +∞
I² = ∫∫ e^(- r²) rdrdθ = ∫(0→2π) ∫(0→+∞) e^(- r²) rdrdθ
= 2π * (- 1/2)e^(- r²)：(0→+∞)
= 2π * (- 1/2)(0 - 1)
= π
于是I = √π
从而∫(0→+∞) e^(- x²) dx = √π/2

法二：
设I = ∫(0→+∞) e^(- x²) dx
考虑：∫(0→+∞) e^(- sx²) dx，令t = x√s
= (1/√s)∫(0→+∞) e^(- t²) dt = I/√s
I² = ∫(0→+∞) Ie^(- x²) dx，令u = x²
= ∫(0→+∞) Ie^(- u)/(2√u) du
= ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) * I/√u du
= ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) ∫(0→+∞) e^(- ut²) dtdu
= ∫(0→+∞) ∫(0→+∞) (1/2)e^(- u) * e^(- ut²) dudt
= ∫(0→+∞) ∫(0→+∞) (1/2)e^[- (1 + t²)u] dudt
= ∫(0→+∞) 1/[2(1 + t²)] dt
= (1/2)arctan(t)：(0→+∞)
= π/4
I = √π/2

法三：
考虑∮ e^(- z²)/[1 + e^(- 2αz)] dz
其中C为以- r，s，s + i*lm(a)，- r + i*lm(a)为顶点的矩形
g(z) = e^(- z²)/[1 + e^(- 2αz)]，α = (1 + i)√(π/2)
g(z) - g(z + α) = e^(- z²)
∮ e^(- z²)/[1 + e^(- 2αz)] dz = 2πi*Res[g(z)，α/2] = √π = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
==> ∫(0→+∞) e^(- x²) dx = √π/2

找这个积分的方法太多了，还有欧拉函数，斯特灵公式，ζ函数等等也可以。

Answer 3

设 A=∫e^(-x²)dx 上下限为 +∞ -∞
A²= ∫e^(-x²)dx * ∫e^(-y²)dy = ∫∫e^-(x²+y²)dxdy

把x-y正交坐标系换成极坐标系
A²=∫∫ e^(-r²)rdrdθ r上下限 0到 +∞ ，θ上下限 0到2π
得到A² = π
A = π^(1/2)

又 初始积分上下限是0到+∞
I=A/2= 0.5 π^(1/2)