实对称矩阵能否用一般方阵的相似对角化方式？
实对称矩阵需要将特征向量进行标准正交化，这很麻烦。能否直接用一般方阵的方法，直接将特征向量写作一个方阵？...
实对称矩阵需要将特征向量进行标准正交化，这很麻烦。能否直接用一般方阵的方法，直接将特征向量写作一个方阵？
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这取决于你的需求
如果已经求得了实对称矩阵的所有特征值d_1,...,d_n以及相应的特征向量x_1,...,x_n, 那么A=XDX^{-1}, 其中X=[x_1,...,x_n], D=diag{d_1,...,d_n}, 这对于一般的可对角化矩阵而言总是对的
如果你的需求是酉对角化(注意只能对正规矩阵提这种要求, 比如实对称阵属于正规阵), 那么你还得把X标准正交化得到Q, 注意到此时Q的每一列仍然是A的特征向量(如果A不是正规阵的话Q就未必仍然由特征向量组成了), 所以A=QDQ^{-1}=QDQ^*
求出特征向量X之后是否还要/还能进一步求Q取决于问题本身, 不要去死记结论
如果已经求得了实对称矩阵的所有特征值d_1,...,d_n以及相应的特征向量x_1,...,x_n, 那么A=XDX^{-1}, 其中X=[x_1,...,x_n], D=diag{d_1,...,d_n}, 这对于一般的可对角化矩阵而言总是对的
如果你的需求是酉对角化(注意只能对正规矩阵提这种要求, 比如实对称阵属于正规阵), 那么你还得把X标准正交化得到Q, 注意到此时Q的每一列仍然是A的特征向量(如果A不是正规阵的话Q就未必仍然由特征向量组成了), 所以A=QDQ^{-1}=QDQ^*
求出特征向量X之后是否还要/还能进一步求Q取决于问题本身, 不要去死记结论
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