Question

如图，已知抛物线y＝ax^2+bx+c（a≠0）与x轴交与点A（-4，0）与y轴交与点B（0，3），

如图，已知抛物线y＝ax^2+bx+c（a≠0）与x轴交与点A（-4，0）与y轴交与点B（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝-3╱2。
（1）求抛物线的解析式。
（2）设P是抛物线上的一个动点，且点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，若以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，求此时点Q的坐标。
（3）若点M在抛物线的对称轴上，三角形ABM为直角三角形，求出所有满足条件的M点的坐标

Answer 1

按题图所示，B点坐标应是(0,-3)，因此本题且按(0,-3)来做。

分别将A（-4，0）与点B（0，-3）代入抛物线方程y＝ax²+bx+c，得：
16a-4b+c=0，c=-3
对称轴为直线x＝-3╱2，即：-b/(2a)=-3/2
解上述方程得：a=3/4 ，b=9/4 ，c=-3
抛物线方程为y=3x²/4+9x/4-3

AB的中点E是:(-2,-1.5)，AB=5，
所以AB为直径的圆：圆心在（-2，-1.5），半径是2.5
切点纵坐标与圆心相同，横坐标是: -2±2.5，即0.5或-4.5
AB直线方程是y=-3(x+4)/4 , 将x=0.5或-4.5代入得：
Q点坐标是: (0.5 ，3.375) 或 (-4.5 ，0.125）

由于M点必在AB为直径的圆上
所以M点坐标是：（-2，-1.5±2.5），即有两个点满足要求分别是：（-2 ，1）和（-2，-4）

Answer 2

⑴依题意，得16a－4b＋c＝0…①， c＝﹣3…，② ﹣b／2a＝﹣3／2…，③解之，得a＝3／4，b＝9／4，c＝﹣3，∴y＝3／4x²＋9／4x－3。⑵ AB²＝OA¹＋OB²＝25，∴AB＝5，即以AB为直径的圆的半径为5／2，设圆心为N，则N的坐标为N﹙﹣2，﹣3／2﹚。设过P、Q的直线为x＝m，若以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，只须点N到直线为x＝m的距离为5／2，即﹣2－m＝5／2，或m－﹙﹣2﹚＝5／2，解之，m＝－9／2或m＝1／2。即x＝－9／2或x＝1／2，直线AB的解析式为y＝－3／4x－3，当x＝－9／2时，y＝3／8，∴Q﹙﹣9／2，3／8﹚；或当x＝1／2时，y＝﹣27／8，∴Q﹙1／2，﹣27／8﹚。⑶设M的坐标为M﹙﹣3／2，k﹚，MA²＝…，MB²＝…，AB²＝25。①MA为斜边…，②当MB为斜边…，③当AB为斜边…，分别运用勾股定理求出k。

Answer 3

刘明