Question

求球面:x^2+y^2+z^2=a^2含在圆柱面x^2+y^2=ax内部的那部分面积.

参考书上是这么解答的，不过我不明白，为什么不能先求第一到第四卦限，然后乘以2（即极坐标θ的取值范围为[0,2π])。请看图片：
参考书上的：

我做的：

希望大家能给我解释一下，谢谢了。

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Answer 1

以下求上面的那一片（记为∑）的面积A：∑在xoy面的投影域,是圆X^2+Y^2=aX的内部（记为Dxy）,则有公式A=∫∫∑dS=∫∫Dxy√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] dxdy。

其中√［1+（Z’x）^2+（Z’y）^2］中的函数Z为∑的方程之Z=√［a^2-x^2-y^2］，由此求得√［1+（Z’x）^2+（Z’y）^2］=a/√［a^2-x^2-y^2］。

故A=a∫∫Dxy1/√［a^2-x^2-y^2］dxdy，对这个二重积分采用极坐标计算，其积分限确定为0≤θ≤∏，0≤r≤acosθ，因：域Dxy，即圆x^2+y^2=ax的内部的极角范围是0≤θ≤∏。

性质

1、圆柱的两个圆面叫底面，周围的面叫侧面，一个圆柱体是由两个底面和一个侧面组成的。

2、圆柱体的两个底面是完全相同的两个圆面。两个底面之间的距离是圆柱体的高。

3、圆柱体的侧面是一个曲面，圆柱体的侧面的展开图是一个长方形、正方形或平行四边形（斜着切）。

圆柱的侧面积=底面周长x高，即：

S侧面积=Ch=2πrh

底面周长C=2πr=πd

Answer 2

我也做了一天，思考为什么积分区域不一样造成结果不一样，后来我思考出来了，但是就这道题而言，我觉得很有可能是你的积分过程中去平方的时候没有讨论绝对值，因为去平方有sin函数，我做的是这样的，两个部分相加

Answer 3

圆柱是：(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2
它存在于一、二、五、六卦限。在计算球面被圆柱割下部分的面积时，根据对称性这四个卦限内的面积相等。故应为第一卦限内面积的四倍，你对几何图形没有想清楚。
另外，计算也有误。

追问

嗯，不过我还是不明白，假如有这样一道题，被积函数只存在于第四象限和第一象限，那么用极坐标计算时，积分区间θ取[-π/2,π/2]和θ取[0,2π]结果为什么不一样？在[π/2,3π/2]区间内，既然被积函数不存在，为什么还会影响结果？

追答

积分区间θ取[-π/2,π/2]和θ取[0,2π]结果为什么不一样？-----------------你的问题很有意思，可能要具体问题，具体对待，才能找出错误原因。

Answer 4

你没有过程，前面掉了2
∫d(a²-r²）/√（a²-r²）=2√（a²-r²）
∫（0，acosθ）d(a²-r²）/√（a²-r²）
=2[√（a²-a²cos²θ）-√a²]
=2(asinθ-a)
原式=
-2a∫（0，π/2）2(asinθ-a)dθ
=-4a²（-cosθ-θ）|（0，π/2）
=4a²（cosθ+θ）|（0，π/2）
=4a²（0+π/2-1）
=2a²（π-2）

Answer 5

因为是立体坐标系，所以在四个卦系内有面积，应该是4倍的S，还有你的积分可能有错误，可能是忘记减下限了