Question

求球面x^2+y^2+z^2=a^2,含在圆柱面x^2+y^2=ax内部的那部分面积

Answer 1

以下求上面的那一片（记为∑）的面积A：∑在xoy面的投影域,是圆X^2+Y^2=aX的内部（记为Dxy）,则有公式A=∫∫∑dS=∫∫Dxy√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] dxdy。

其中√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] 中的函数Z为∑的方程之Z=√[a^2 - x^2 - y^2] ,由此求得√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] =a/√[a^2 - x^2 - y^2]。

故A=a∫∫Dxy1/√[a^2 - x^2 - y^2]dxdy,对这个二重积分采用极坐标计算,其积分限确定为0≤θ≤∏,0≤r≤acosθ，因：域Dxy,即圆x^2+y^2=ax的内部的极角范围是0≤θ≤∏；

极半径r的范围是从0到圆x^2+y^2=ax的边界,而圆x^2+y^2=ax的极坐标方程是r=acosθ：是把极坐标与直角坐标的关系式x^2+y^2=r^2以及x=rcosθ代入圆x^2+y^2=ax这个方程中得到的。

于是,A=a∫（0到∏）dθ∫（0到acosθ）r/√[a^2 - r^2]dr=a^2（∏-2）则2A=2a^2（∏-2）就是所求面积。本题也可以只求第一卦限的那片面积,然后4倍之。

扩展资料：

有几种众所周知的简单形状的公式，如三角形，矩形和圆形。使用这些公式，可以通过将多边形分成三角形来找到任何多边形的面积。

对于具有弯曲边界的形状，通常需要微积分来计算面积。事实上，确定飞机数字面积的问题是演算历史发展的主要动机。 

参考资料来源：百度百科-面积

Answer 2

把R=a就行，详情如图所示