Question

（1）Sn/n成等差数列,证明an为等差数列

（2）在（1）的条件下，S1=2，S2=6，求数列1/Sn的前n项和Tn
（3）在（1）（2）的条件下，若存在实数λ使得对一切n有（1-1/a1）*（1-1/a2）
*……（1-1/an）≤λ/根号下2n+1成立，求λ的最小值

Answer 1

1、设第一项为a1，公差为d
则等差数列Sn/n的前三项为a1，（a1+d）/2，(a1+2d)/3
2*（a1+d）/2=a1+(a1+2d)/3,可以得到a1=d
则原数列可表示为an=nd，可知是个等差数列

2、S1=2，可知d=2（S2=6可以验算前面是正确的）
则an=2n，Sn=（2+2n）/2*n=n（n+1）
数列1/Sn为1/（n^2+n）=1/n-1/(n+1)
则Tn=1-1/(n+1)

3、暂时未知，待补。

Answer 2

证：
(1)
设公差为d。
Sn/n=S1/1 +(n-1)d=a1+(n-1)d
Sn=na1+n(n-1)d
S(n+1)=(n+1)a1+n(n+1)d
a(n+1)=S(n+1)-Sn=(n+1)a1+n(n+1)d-na1-n(n-1)d=a1+2nd
an=a1+2(n-1)d
a(n+1)-an=a1+2nd-a1-2(n-1)d=2d，为定值。
数列{an}是以2d为公差的等差数列。
(2)
S1=2 S2=6
d=S2/2 -S1/1=3 -2=1
Sn/n=S1/1 +(n-1)d=S1+(n-1)d=2+n-1=n+1
Sn=n(n+1)/2
1/Sn=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
前n项和Tn=2[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)