Question

已知函数f（x）是偶函数，其定义域为（－1，1），且在[0，1）上为增函数，若f（a－2）－f（4－

已知函数f（x）是偶函数，其定义域为（－1，1），且在[0，1）上为增函数，若f（a－2）－f（4－a²）＜0，试求a的取值范围？

Answer 1

a-2，4-a²均在定义域上
-1<a-2<1，解得1<a<3
-1<4-a²<1，解得a²>3 -√5<a<-√3或√3<a<√5
综上，得√3<a<√5
f(a-2)-f(4-a²)<0
f(a-2)-f(a²-4)<0
f(a-2)<f(a²-4)
分类讨论：
(1)
2<a<√5时，a-2>0 a²-4>0，函数在[0，1)上是增函数，因此a-2<a²-4
a²-a-2>0 (a-2)(a+1)>0
a>2或a<-1，又2<a<√5，因此2<a<√5
(2)
a=2时，f(a-2)=f(0) f(a²-4)=f(0) f(a-2)=f(a²-4)，不等式不成立，a=2不满足题意。
(3)
√3<a<2时，a-2<0 a²-4<0，由偶函数性质，函数在(-1，0]上是减函数，因此a-2>a²-4
a²-a-2<0 (a-2)(a+1)<0
-1<a<2，又√3<a<2，因此√3<a<2
综上，得2<a<√5或√3<a<2