Question

设数列{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项

求{an}的通项公式

Answer 1

解：

由已知得(an +2)/2=√(2Sn)，整理，得
Sn=an²/8 + an/2+ 1/2
n=1时，a1=S1=a1²/8+a1/2+1/2，整理，得
a1²-4a1+4=0
(a1-2)²=0
a1=2
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=an²/8+an/2+1/2-[a(n-1)²/8+a(n-1)/2+1/2]
整理，得
an²-a(n-1)²-4an-4a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-4[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-4]=0
数列为正项数列，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-4=0
an-a(n-1)=4，为定值。
数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列。
an=2+4(n-1)=4n-2
数列{an}的通项公式为an=4n-2。