Question

数学大神们求解

27．（本题满分9分）如图①中，PB切半⊙O于B点，AB为直径，PA交⊙O于D点，连结BD，OD，已知图①中测得PD＝2，AD＝8．
(1)在图①中，求证：∠P＝∠ODB；
(2)在图①中，求⊙O的半径；
(3)小军继续进行探究，在图①中保持⊙O的半径不变，且∠P的大小也不改变移动P点至图②位置，在移动过程中，小军发现DC的长度不改变，请求出DC的长度．

Answer 1

证明：易知，∠PDB=90,∠PBA=90
∠ODB+∠PBD=90,∠PBD+∠P=90
∠ODB+∠PBD=∠PBD+∠P
∠ODB=∠P
(2)DB垂直于AP,PB垂直于AB,由射影定理得
AB^2=AD*AP
2R^2=AD(AD+PD)=8(8+2)
R=2根号10

追问

谢谢，我想知道第三小问

Answer 2

∵PB切半⊙O于B点,∴∠ABP=90°。

∵AB为直径,∴∠ADB=90°。

在△ABP和△ADB中，∵∠ABP=∠ADB=90°，∠A=∠A，∴∠P=∠ABD=∠OBD‍‍‍‍‍‍‍‍

在△OBD中，∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=90°，∴∠P=∠ODB

 (2)求⊙O的半径

AD/DB=DB/PD

DB²=AD*PD=2*8=16

DB=4

AB²=AD²+DB²=64+16=80

AB=4√5

⊙O的半径=AB/2=2√5.

 (3)求出DC的长度

∵DC的长度不改变, OD=OC=⊙O的半径=2√5也不会改变，∴△OBD=△ODC,

∴DC=DB=4

追问

可是DB不等于DC啊