Question

如图RT△ABC中,CD是斜边AB上的中线,DE平分∠CDB,且DE=AC （1）求证：四边形BECD是菱形

Answer 1

设BC和DE交于O
∵CD是斜边AB上的中线
∴BD=CD=1/2AB(CD=AD)
∵DE平分∠CDB(∠CDO=∠BDO)
∴DO是等腰三角形BCD的高（中线）
即DO⊥BD
∴∠CDO+∠ODC=90°
∵∠ODC(∠BCD)+∠ACD=∠ACB=90°
∴∠CDO=∠ACD
∴DE∥AC
∵DE=AC
∴ACED是平行四边形
∴EC=AD=BD
∠CED=∠A
∵CD=AD即∠A=∠ACD=∠CDO=∠BDO)
∴∠CED=∠BDO
∴EC∥BD(EC=BD)
∴四边形BECD是平行四边形
∵BD=CD
∴四边形BECD是菱形