Question

试讨论函数f(x)=x+a/x(a≠0)在(0,正无穷)上的单调性

Answer 1

因为f(x)=x+a/x，判断单调性，考虑基本定义法：
任取x1、x2 令x1<x2
所以f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=x1-x2+a(x2-x1)/x1x2
=(x1x2-a)(x1-x2)

①如果0<x1<x2≤√a
因为0<x1<x2≤a^0.5
所以x1-x2<0,x1x2-a<0
故(x1x2-a)(x1-x2)>0
所以当0<x≤√a时，f(x)单调递减

②如果√a≤x1<x2
因为√a≤x1<x2
所以x1-x2<0,x1x2-a>0
故(x1x2-a)(x1-x2)<0
所以当x≥√a时，f(x)单调递增