Question

如图,在rt三角形ABC中,角C=90°,角A=60°,点E,F分别在AB,AC上,把角A沿着EF对折,使点A落在BC上点D处，

如图,在rt三角形ABC中,角C=90°,角A=60°,点E,F分别在AB,AC上,把角A沿着EF对折,使点A落在BC上点D处，且使ED垂直于BC
1.猜测AE与BE的数量关系，并说明理由
2.求证：四边形AEDF是菱形

Answer 1

⑴∵∠A=60在，∴∠B=30°，
在RTΔBDE中，DE=1/2BE，
则折叠知，AE=DE，
∴AE=1/2BE(或BE=2AE)。
⑵由折叠知：∠FEA=∠FED，
∵DE⊥BC，∠C=90°，
∴DE∥AC，∴∠FED=∠EFA，
∴∠FEA=∠EFA，∴AE=AF，
∴AF=DE，
∴四边形AEDF是平行四边形(AF与DE平行且相等)，
又AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形。

Answer 2

1. 解：由题意得知：
△AEF≌△DEF
∵ DE=AE
又 ∵ ∠A=60°
∴ ∠B=30°
∠BDE=90°
∴ DE=1/2BE
∴ AE=1/2BE

2. ∵ △AEF≌△DEF
∴ ∠AEF=∠DEF
∵ DE∥AC ∠A=60°
∴∠DEA=180°-60°=120°
∠AEF=∠DEF=1/2∠DEA=60°
∴△AEF和△DEF 都是等边三角形
∴ AE=DE=DF=FA ∠DEF+∠DEA=180° ∴ DF∥AE
又 ∵DE∥AC
∴ 四边形AEDF是菱形