Question

已知点M是正方形ABCD的边AB的中点，MN⊥DM，与∠ABC外角的平分线交于点N。 1.如图一，求证：MD=MN

2.若M是AB上任意一点，如图二，MD与MN是否相等，说明理由 3.若M是AB延长线上任意一点，如图三，上述结论是否成立，说明理由

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Answer 1

（1）在AD上截取AK=AM，则K为AD中点，连接KM，下面证明三角形KMD和BNM是全等的：
角BMN+角AMD=90度，角BMN+角ADM=90度，故角BMN=角ADM；角DKM=180-45=135；
角MBN=180-45=135，故DKM=MBN，且DK=MB，所以KMD和BNM是全等的，故DM=MN。
（2）结论依然成立：同样在AD上截取AK=AM，同样连接KM，同样证明KMD和BNM全等的；
角BMN=角ADM，DK=MB，角DKM=180-45=135，角MBN=180-45=135，故角DKM=角MBN，

所以KMD和BNM是全等的，故DM=MN。

2.证明：

在DA上截取DF=BM，连接FM

∵MN⊥DM，∠A=90°

∴∠BMN+∠AMD=∠MAF+∠AMD=90°

∴∠BMN=∠MAF

∵AB=AD

∴AM=AF

∴∠AFM=45°

∴∠DFM=135°

∵BN平分∠CBE

∴∠MBN=135°

∴∠MBN=∠DFM

∴△DFM≌△MBN（ASA）

∴MD=MN