Question

急求详细解答高一数学必修5 设 a>b>0, 则 求a²+1/ab+1/ a(a-b) 的最小值

Answer 1

∵a>b>0
∴a²＞ab＞0
即：a²-ab＞0且ab＞0

a² + 1/ab + 1/a(a-b)
=a² + 1/ab + 1/(a²-ab) -ab+ab
=[(a²-ab)+1/(a²-ab)] + [ab+1/(ab)]
≥2+2 【基本不等式】
=4

当且仅当a²-ab=1、ab=1时取等号
即：当a=√2、b=1/√2时，原式有最小值4

不懂追问~

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

追问

这步{(a²-ab)+[1/(a²-ab)]}+[(ab)+1/(ab)]≥2+2=4。具体怎么得出来的？

追答

a² + 1/ab + 1/a(a-b)

加个ab，减个ab，等式不变
=a² + 1/ab + 1/(a²-ab) -ab+ab

运用加法交换律，+ab和1/ab结合，-ab和a²结合
[(a²-ab)+1/(a²-ab)] + [ab+1/(ab)]

运用基本不等式
≥2+2

追问

“运用基本不等式
≥2+2”
这又是如何得出的？

追答

必修5基础知识，基本不等式：
a+b≥2√ab 【√是根号】
当且仅当a=b时取等号

[(a²-ab)+1/(a²-ab)] + [ab+1/(ab)]
≥2√[(a²-ab)×1/(a²-ab)] + 2√[ab×1/(ab)]
=2√1 + 2√1
=2+2
=4

Answer 2

因a>b>0.故a²＞ab＞0.
===>a²-ab＞0,且ab＞0.
由基本不等式可知；
a²+(1/ab)+[1/(a²-ab)]
={(a²-ab)+[1/(a²-ab)]}+[(ab)+1/(ab)]≥2+2=4。
等号仅当a²-ab=1,ab=1时取得；
即当a=√2,b=1/√2时取得。故原式min=4.

追问

这步{(a²-ab)+[1/(a²-ab)]}+[(ab)+1/(ab)]≥2+2=4。具体怎么得出来的？

追答

就是式子的前面减去一个ab,后面加上一个ab

追问

那为什么就 ≥2 了呢？

追答

运用公式x+1/x>=2根号(x*1/x)=2

就是(a^2-ab)+1/(a^2-ab)>=2
ab+1/ab>=2

Answer 3

最小值是4

追问

具体步骤呢