Question

直线l过抛物线Y2=4x的焦点,与抛物线交与A,B两点(1)若AB=8，求直线l的方程（2）求弦AB的重点P的轨迹方程

Answer 1

(1)设抛物线y²=4x的准线为L，L与x轴交于点M
焦点为F，则点F坐标为(1，0)
过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为A'、B'
再过点B作AA'的垂线，垂足为C，且BC交x轴与点D
由抛物线定义可知，
|FM|=2,|AA'|=|AF|，|BB'|=|FB|
不妨先设|FB|=a，|AF|＞|FB|（由于|AB|≠2p=4，故AB不是抛物线的通径，即|AF|≠|FB|）.
则|AF|=8-a
则|AC|=|AA'|-|BB'|=8-2a，|FD|=2-a
由于直角△BDF∽直角△BCA
因此|FD|/|AC|=|BF|/|BA|
解之得a=4-2√2（其中4+2√2＞8/2=4，舍去）
则sin角BFD=|FD|/|FB|=√2/2，即角BFD=45°
则kAB=tan角BFD=1
对称的，当|AF|＜|FB|时，角BFD=135°，kAB=-1
故所求直线AB的方程为
y=x+1或y=-x+1
(2)设弦AB中点P坐标为(x，y)，A(x'，y')B(x''，y'')
则y'²=4x'…………①
y''²=4x''…………②
由于点A、B、F共线
则y''（x'-1）=y'（x''-1）…………③
②+①得
y'²+y''²=4x'+4x''
(y'+y'')²-2y'y''=4(x'+x'')…………④
将①②中的x'、x''带入③得
y''（y'²/4-1）=y'（y''²/4-1）
整理得y'y''=4…………⑤
又由于
即P为AB中点
则2x=x'+x''，2y=y'+y''
将上述两式和⑤带入④得
4y²-8=8x
整理得点P的轨迹方程为
y²=2(x+1)

注：你如果学习过极坐标，此题运用极坐标下的抛物线方程计算会更简便一些。