Question

问一到高中数学题目,求详解

对于0≤M≤4，不等式X^2+MX>4X+M-3恒成立，则X的取值范围是

Answer 1

分析：这个问题的关键在于将谁看成变量。这里如果将M看成变量，那么X就是M的参数，而不等式则是关于M的一次不等式。另外一个观点是，此类恒等式问题可以转化为最值问题求解。
解：视M为变量，X为其参数
则不等式转化为：（X-1)M+X^2-4X+3>0
由题意，此式对0≤M≤4恒成立
即f(M)=(X-1)M+X^2-4X+3在0≤M≤4时最小值大于0
f(M)为一次函数，最小值在两端取得，即所求为：f(0)>0且f(4)>0
即：X^2-4X+3>0且X^2-1>0
第一个不等式解出X<1或X>3,第二个不等式解出X<-1或X>1
两解集取交，得X<-1或X>3，此即最终结果

方法是这样，计算过程LZ最好再验证一遍，也便于掌握。如前面的分析所说，这类题的关键点有两点：一是将谁看成变量的问题，另一个是将不等式恒成立问题转化为最值问题。希望LZ早日掌握。

Answer 2

将M作为变量，X作为参数

把不等式转化为：（X-1)M+X^2-4X+3>0

不等式X^2+MX>4X+M-3恒成立 也就是0≤M≤4时 （X-1)M+X^2-4X+3>0恒成立
即f(M)=(X-1)M+X^2-4X+3在0≤M≤4时最小值大于0

f(M)为一次函数，最小值在两端取得，即所求为：f(0)>0且f(4)>0
即：X^2-4X+3>0且X^2-1>0

解X<1或X>3, X<-1或X>1
两解集取交集，得X<-1或X>3，此即最终结果