Question

请教一道数学的几何问题。

如图，D为圆O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD。CD是圆O的切线，DO为半径，过点B作圆O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=2/3，求BE的长。

Answer 1

解：因为DC与圆O相切，所以OD⊥CE，即∠CDA+∠ADC=90°，
AB是圆O的直径，所以∠ADO+∠ODB=90°，
因此∠CDA=∠ODC，
又因为OD=OB，
所以∠ODC=∠OBD，
所以∠CDA=∠DBO，
所以△CDA∽△CBD，因而CD：CB=AD：DB，
又因为tan∠CDA=tan∠DBO=AD：DB=CD：CB=2/3，
又因为BC=6，所以CD=4
因为BE与圆O相切与点B，故DE=BE。
假设DE=BE=a，在RT△CBE中有BE²+CB²=CE²
a²+6²=（4+a）²
解得：a=2.5
故BE=2.5

希望我的回答能帮到你，不明白欢迎追问。
望采纳！

Answer 2

说一下大致思路，
由题意易得，
△CDA∽△CBD,△CDO∽△CBE
∠CDA=∠CBD
tan∠CBD=tan∠CDA=2/3
设AD=2x,BD=3x,
则AB=√13x，DO=AO=BO=√13x/2
由△CDA∽△CBD得AD/DB=CD/CB=CA/CD
CD=CB*AD/DB=2/3*CB=4
4^2=6CA
CA=8/3
8/3+√13x=6
x=10√13/39
DO=√13x/2=5/3
BE/DO=CB/CD
BE=3/2DO=5/2

Answer 3

∵∠CDA=∠CBD
∴∠CDA是弦AD的弦切角，D是切点
连接OD
则OD⊥CD
∠AOD=2∠CBD 【圆心角等于圆周角的2倍】
∠C+∠AOD=90°
∠C=90°-2∠CBD=90°-2∠CDA
tan∠C=tan（90°-2∠CDA）=1/tan2∠CDA
根据倍角公式 tan2α=2tanα/(1-tan²α)
tan2∠CDA=2*2/3 /(1-(2/3)²)=12/5
∴ tan∠C=5/12
BE=BCtan∠C=6*5/12=5/2

Answer 4

连结OD，
∵OB=OD，
∴则△OBD是等腰△，
∴〈OBD=〈ODB，
∵〈CBD=〈ADC，（已知），
∴〈CDA+〈BDO，
∵AB是直径，
∴〈BDA=90°，（半圆上的圆周角是直角），
∴〈BDO+〈ODA=90°，
∴〈DAC+〈ODA=90°，
∴〈ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线。
2、∵BE是⊙O的切线，BA是直径，
∴〈EBC=90°，
作DH⊥BC，垂足H，
则〈ADH=〈DBA，
∴〈ADH=〈CDA，
〈CDH=2〈ADC，
利用正切的倍角公式，
tan<CDH=2*tan<ADC/[1-(tan<ADC)^2]
=(2*2/3)/(1-4/9)
=(4/3)/(5/9)
=12/5,
∵BE//DH,
∴〈BEC=〈HDC，
tan<BEC=BC/BE,
6/BE=12/5，
∴BE=5/2。