Question

求解答、、曲线积分...斯托克斯公式求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz,

其中L是球面x^2+y^2+z^2=2bx与柱面x^2+y^2=2ax(b>a>0)的交线
(z≧0)它的方向与z轴构成右手螺旋。谢谢了，麻烦用斯托克斯公式，求详细过程，谢谢

Answer 1

根据斯托克斯，将曲线积分转换成曲面积分

本题如图：

所交曲线L：

                   

根据斯托克斯公式：

         | DyDz      DxDz      Dxdy  |
I= ∑∫∫ | x偏导      y偏导     z偏导 |
         |y^2+z^2  z^2+x^2  x^2+y^2|
 =∑∫∫(2y-2z)DyDz+(2z-2x)DxDz+(2x-2y)DxDy

根据(DyDz,DzDx,DxDy)=(cos A,cos B,cos C)DS
I=2∑∫∫[(y-z)cos A+(z-x)cos B+(x-y)cos C]DS

L所在球面方程是     x^2+y^2+z^2=2bx
                          (x-b)^2+y^2+z^2=b^2
          [(x-b)/b]^2+(y/b)^2+(z/b)^2=1
所以            (cos A,cos B,cos C)=((x-b)/b,y/b,z/b)
则           (cos A,cos B,cos C)DS=((x-b)/b,y/b,z/b)DS

I=2∑∫∫[(y-z)(x-b)/b+(z-x)y/b+(x-y)z/b]DS
 =2/b∑∫∫[xy-by-xz+bz+yz-xy+xz-yz]
 =2/b∑∫∫[-by+bz]DS
 =2∑∫∫(z-y)DS

DyDz=DS*cos A=DS*(x-b)/b
则DS=DyDz*b/(x-b)
DzDx=DS*cos B=DS*y/b
则DS=DxDz*b/y 所以yDs=bDxDz
DxDy=DS*cos c=DS*z/b
则DS=DxDy*b/z 所以zDS=bDxDy

代入则将原积分求解转换成，曲面在坐标系投影面积的求解

I=2b∑∫∫DxDy-2b∑∫∫DxDz

L围成曲面在xoy投影面积是，圆柱x^2+y^2=2ax在平面投影，面积πa^2
L围成曲面在xoz投影面积是0，参考上图

I=2b(Dxy)∫∫DxDy-0
 =2bπa^2

 

希望能帮到你