Question

高斯公式求曲面积分...求∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2),

∑是由曲面x^2+y^2=R^2以及两平面z=R,z=-R所围城的立体的外表面。主要求解如何将分母变为一个常数，谢谢大神了

Answer 1

直接套高斯公式，然后用柱坐标变换，将积分区域化为 -R<=z<=R, 0<=r<=R,0<=theta<=2pi
然后化成累次积分就出来了。
分母不能变为常数！！！除非∑是个球面。

追问

不行吧，高斯公式要求有一阶连续偏导数，可是它在原点不可导阿，不能直接用高斯公式吧，我看网上有人弄出了x^2 y^2 z^2=2R^2，然后就把分母给弄掉了阿...

追答

哦，对，原点没定义，那就挖掉原点，用高斯公式把原来的柱面积分，化为一个重积分，减去一个包含原点的小球面的球面积分，三重积分像前面说的一样计算，而小球面的积分，分母就成了常数。

Answer 2

这题如果用高斯公式,会产生很多问题的.比直接积分要繁.