Question

计算∬xdydz+(z+1)^2dxdy/(x^2+y^2+z^2)^1/2曲面积分，其中为上半球面z=(4-x^2-y^2)^1/2的上侧,

这里为什么可以直接带入（x^2+y^2+z^2）^1/2=2 呢？？？

Answer 1

因为在球面上任何一点，都满足x^2+y^2+z^2=4

Answer 2

为了利用高斯公式，将目标曲面补成封闭的曲面，且方向向外侧，最后积分值减去这一部分即可.
目标曲面为半球面，补充半球面的底面部分，设为∑a. 新形成的封闭曲面设为 ∑b. 在底面时，z = 0，dz = 0.
则：原积分 I = ∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy - ∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy
= ∫∫∫ 3 dV - 0
= 3V(半球)
= 2πR^3.