Question

1)已知，如图甲，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA’、BB’、CC’、DD’都垂直于MN，A’、B’、C’、D

1)已知，如图甲，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA’、BB’、CC’、DD’都垂直于MN，A’、B’、C’、D’为垂足。求证AA’+CC'=BB'+DD'。

（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA'、BB'、CC'、DD'之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明。(3)MN继续向上移动，当过B点时；在B、D之间时；过D点时；在A、D之间时；过A点时。AA'、BB'、CC'、DD'各存在什么关系，得出结论并加以证明。

Answer 1

如图，过点B'做B'B''∥AB交AA'于点B''，过点C做CC''∥CD交DD'于点C''

∴四边形ABB'B''和四边形CC'C''D是平行四边形，且B'B''∥C'C''

∴B'B''=AB=CD=C'C'',BB'=AB'',CC'=DC'',∠B''B'A'=∠C''C'D'

又∵∠B''A'B'=∠C''D'C'=90º

∴△B''B'A'≌△C''C'D'

∴A'B''=D'C''

∴A'B''+AB''+CC'=D'C''+B'B+C''D

∴AA'+CC'=BB'+DD'

(2)CC'+BB'+DD'=AA'

如图，过点B'做B'B''∥AB交AA'于点B''，过点C做CC''∥CD交D'D的延长线于点C''

∴四边形ABB'B''和四边形CC'C''D是平行四边形，且B'B''∥C'C''

∴B'B''=AB=CD=C'C'',BB'=AB'',CC'=DC'',∠B''B'A'=∠C''C'D'

又∵∠B''A'B'=∠C''D'C'=90º

∴△B''B'A'≌△C''C'D'

∴B''A'=C''D'

∵B''A'=AA'-AB''=AA'-BB',C''D'=C''D+DD'=CC'+DD'

∴AA'-BB'=C''D+DD'=CC'+DD'

∴AA'=BB'+C''D+DD'

(3)AA'=CC'+DD'

如图，过点C做CD''∥CD交D'D的延长线于点D''

∴四边形CC'D''D'是平行四边形,且C'D''∥CD∥AB

∴AB=CD=C'D'',∠ABA'=∠D''C'D',且CC'=DD''

又∵∠AA'B=∠D''D'C'=90º

∴△ABA'≌△D''C'D'

∴AA'=D'D''

∴AA'=DD''+DD'

∴AA'=CC'+DD'

在B、D之间时,AA'+CC'=BB'+DD'

如图，同理可证，△B'B''A''≌△C'D''D'

∴A'B''=D'D''

∴AA'-BB'=CC'-DD'

∴AA'+CC'=BB'+DD'

在A、D之间时与在B,D之间相同

过A点时,CC'=BB'+DD'

如图，过D'点做D'C''∥CD交CC'于点C''

则△ABB'≌△D'C''C'

∴CC''=BB'

∴CC'-CC''=CC'-DD'=BB'

∴CC'=BB'+DD'

Answer 2

⑴连结AC、BD，交点为O，则AO＝OC，BO＝OD，过O作OO¹⊥MN于O¹，则OO¹既是梯形AA¹C¹C的中位线又是梯形BB¹D¹D的中位线。∴AA’+CC'=BB'+DD'。⑵点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧时，过C作MN的平行线分别交OO¹、AA¹的延长线于O²、A²，则A¹A²＝O¹O²＝C¹C，2﹙OO¹＋CC¹﹚＝AA¹＋CC¹，∴2OO¹＝AA¹－CC¹，又2OO¹＝BB¹＋DD¹，∴AA¹－CC¹＝BB¹＋DD¹。⑶参考⑵。

Answer 3

去对对塔问一下