Question

求一个三阶矩阵的特征值和特征向量:求(1 2 3 2 1 3 3 3 6)的特征值和特征向量

Answer 1

设此矩阵A的特征值为λ
则
|A-λE|=
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ 第2列减去第1列
=
1-λ λ+1 3
2 -1-λ 3
3 0 6-λ 第1行加上第2行
=
3-λ 0 6
2 -1-λ 3
3 0 6-λ 按第2列展开
=(-1-λ)(λ²-9λ)=0
解得λ=9，0或-1
当λ=9时，
A-9E=
-8 2 3
2 -8 3
3 3 -3 第1行加上第2行×4，第3行除以3，
～
0 -30 15
2 -8 3
1 1 -1 第1行除以-15，第2行减去第3行乘以2
～
0 2 -1
0 -10 5
1 1 -1 第2行加上第1行×5，第1行乘以1/2，第3行减去第1行，交换行
～
1 0 -1/2
0 1 -1/2
0 0 0
得到特征向量(1,1,2)^T
当λ=0时，
A=
1 2 3
2 1 3
3 3 6 第2行减去第1行乘以2，第3行减去第1行乘以3
～
1 2 3
0 -3 -3
0 -3 -3 第3行减去第2行，第2行除以-3，第1行减去第2行乘以2
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(1,1,-1)^T
当λ= -1时，
A+E=
2 2 3
2 2 3
3 3 7 第2行减去第1行，第3行减去第1行× 3/2
～
2 2 3
0 0 0
0 0 2.5 第3行除以2.5，第1行减去第3行×3，交换第2和第3行
～
2 2 0
0 0 1
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T
所以此矩阵的特征值为9，0，-1
对应的特征向量为：(1,1,2)^T，(1,1,-1)^T，(1,-1,0)^T

Answer 2

特征值：
特征值1： 9.0000
特征值2： 0.0000
特征值3： -1.0000
特征向量：
向量1 向量2 向量3
-0.4082 0.5774 0.7071
-0.4082 0.5774 -0.7071
-0.8165 -0.5774 -0.0000