Question

连接梯形一腰的中点且平行于两底边的线段 证明是此梯形的中位线

我是初二的学生，不要比例线段或者相似三角形，也不要用反证法

辅助线添法越多越好

谢谢

Answer 1

图中E为AD中点，EF//DC 要证EF为中位线即证F为BC中点

证：过B作AD平行线，交EF于G 交DC于H

由于EF//DC ED//GH 因此 四边形EGHD为平行四边形

同理 ABGE也为平行四边形

故AE=BG  ED= GH 

又因为E为AD中点  所以AE= ED

所以 BG=GH 故G为BH中点

接下来用三角形的中位线判定定理：即G为BH中点，GF//HC时 GF为BHC的中位线

这个判定定理的证明（如果需要，可以追问我）一般可以直接用结论。

所以F为BC中点，EF为梯形中位线

第二种解答，可能更自然一点，不过本质和第一种差不多，添线也只是平移了

过F 作AD平行线，交N于DC，M于AB延长线

FN//ED，EF//DN 故EFND为平行四边形，ED= FN 

同理，MF=AE

因为E为AD中点，所以MF=FN

又因为是梯形，BM//CN 因此角BMF= 角FNC    角MBF= 角FCN

所以三角形BMF与CNF全等

BF=FC   F 为BC中点

所以EF为中位线