Question

如图12,在边长为2的正方形abcd中,点p,q分别是边AB,BC上的两个动点（与点A、B、C不重合），

且始终保持BP=BQ，AQ垂直QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ。
（1）求证：三角形APQ与三角形QCE全等。
（2）求角QAE的度数。
（3）设BQ=x，当x为何值时，QF//CE，并求出此时三角形AQF的面积。

Answer 1

⑴   AP＝QC＝2-x   ∠APQ＝∠QCE＝135º    ∠QAP＝90º-∠AQB＝∠EQB [∵∠AQE＝90º]

 

∴⊿APQ≌⊿QCE﹙ASA﹚   得到AQ＝QE

 

⑵   ∵∠AQE＝90º      AQ＝QE    ⊿ AQE等腰直角   ∴∠QAE＝45º

 

⑶   QF∥CE时，∠FQC＝45º   把⊿ABQ绕A逆时针旋转90º，到达⊿ADG

 

∠GAF＝90º-∠QAE＝45º＝∠QAF   ∴⊿GAF≌⊿QAF ﹙SAS﹚ QF＝GF＝BQ+FD

 

即√2﹙2-x﹚＝x+x    [注意CF＝QC＝2-x]    x＝2﹙√2-1﹚

 

S⊿AQF＝2²-2S⊿ABQ-S⊿QCF＝4-2﹙2√2-2﹚-﹙4-2√2﹚²/2＝4﹙√2-1﹚

Answer 2

连接PF，FQC=ECM=45°，∴CQ=CF=2-x.求出PQ、QF
PQB=45°，∴PQF=90°,得到PF=2=BC，PB//FC
=> 四边形PFCB为平行四边形或等腰梯形,
∠FCB=∠PBC=90°
=>四边形PFCB为矩形
∴PB=FC=BQ=CQ=x；
∴x=1；
面积就出来了

Answer 3

1.因为BP等于BQ,且角B等于90°，所以角BPQ等于45°，所以角APQ等于135°
又因为ce是角DCM的平分线，所以角DCE等于90°，所以角DCM等于135°，所以角APQ等于角DCM
因为BQ等于BP，所以QC等于AP
因为角AQC等于角B+角PAQ，也等于角AQE+角EQC且角B等于角AQE等于90°
所以角PAQ等于角EQC
综上，即角PAQ等于角CQE，AP等于QC，角APQ等于角QCE
所以三角形PAQ全等于三角形CQE
2.因为三角形PAQ全等于三角形CQE
所以AQ等于QE，且AQ垂直QE
所以角QAE等于1/2的90度等于45°
3.